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arithmétique

Posté par
solidad01 31-05-18 à 21:05

Bonsoir tout le monde ! J'espère que vous êtes en forme , de ma part nickel !!

Encore un exercice d'arithmétique qui me gêne :/ si vous pourriez m'aider merci !

1)a En utilisant le théorème de Fermat , montrer que : 10^6\equiv 1[7]

b) En déduire que pout tout p de N* : 10^{6p}\equiv 1+7p[49]

C'est la question qui b qui m'est difficile , merci !

Posté par
ThierryPomare : arithmétique 31-05-18 à 22:26

Bonsoir,

Rapidement : Pourquoi pas une récurrence. L'initialisation p=1 va te permettre de monter que 10^6\equiv8\quad[49]. D'autre part, d'après le point 1, il existe nécessairement un entier k tel que 10^6=1+7\,k, de sorte que 7\times10^6=7+49\,k\equiv7\quad[49]. Supposant alors que l'on ait 10^{6\,p}\equiv1+7\,p\quad[49] pour un certain entier p, il vient alors que 10^{6\,(p+1)}=10^{6\,p}\times10^6\equiv(1+7\,p)\times10^6=10^6+7\times10^6\,p\equiv8+7\,p=1+7\,(p+1)\quad[49], comme attendu.

Posté par
ThierryPomare : arithmétique 31-05-18 à 22:31

Pour l'initialisation, remarquons simplement que

10^6=\left(10^2\right)^3=(2+2\times49)^3\equiv2^3=8=1+7\times1\quad[49]

Je vais me coucher !

Posté par
flightre : arithmétique 31-05-18 à 22:36

salut

le binome de newton peut suffire largement  

Posté par
flightre : arithmétique 31-05-18 à 22:39

106p = (1+7q)p = C(p,0).(7.q)0 + C(p,1).(7.q)1 +
C(p,2).(7.q)2  +..... = (1 + 7q) + 49*(....)

Posté par
carpediemre : arithmétique 31-05-18 à 22:40

salut

le binome de Newton donne immédiatement la réponse :

10^6 = 1 + 7k \iff (10^6)^p = (1 + 7k)^p = 1 + 7k + 49k

Posté par
solidad01re : arithmétique 31-05-18 à 22:41

a ouii !!! merci tout le monde !

Posté par
carpediemre : arithmétique 31-05-18 à 22:43

damned c'est parti tout seul !!!

bon c'est faux je reprendrai plus tard ...

Posté par
solidad01re : arithmétique 31-05-18 à 23:35

Posté par
carpediemre : arithmétique 01-06-18 à 08:19

flight : ça ne va pas : tu as un p et un q ... or on veut un p !!!

Posté par
coa347re : arithmétique 01-06-18 à 22:10

Bonsoir,

10^6 \equiv 8 (49) \Rightarrow 10^{6p} \equiv 8^p=(1+7)^p \equiv 1+7p (49)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmétique 02-06-18 à 08:34

Bonjour,
Bizarre cet énoncé où l'on fait utiliser un "marteau pilon" pour démontrer 10^6\equiv 1[7] .
Une division euclidienne suffit.
Si on trouve 106 trop grand, on commence par 10^6\equiv 6[7] . Puis on élève au carré...

Et ce "en déduire" alors que c'est 10^6\equiv 8[49] qui est utile !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmétique 02-06-18 à 08:36

Oups !

10^3\equiv 6[7] au lieu de 10^6\equiv 6[7]


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