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Arithmétique

Posté par Profil Ramanujan 02-02-19 à 18:43

Bonsoir,

Un entier naturel n est appelé nombre puissant lorsque pour tout diviseur premier p de n, p^2 divise n

Soient (a,b) des entiers naturels.

Montrer que l'entier n=a^2 b^3 est un nombre puissant.

J'ai essayé de partir de :

Si p divise n alors n=kp mais je n'aboutis pas.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 02-02-19 à 18:48

Bonjour,
un diviseur premier de a^2b^3 divise a ou (inclusif) b

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 02-02-19 à 19:27

salut

n = a^2b^3 = a^2 b^2b

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 03-02-19 à 16:48

Je n'ai pas compris comment résoudre l'exo à partir de vos indications

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 03-02-19 à 16:49

J'ai p divise a^2 ou b^3

Je vois pas comment en déduire que p^2 divise n

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 04-02-19 à 01:59

Posté par
lionel52
re : Arithmétique 04-02-19 à 08:46

Si p ne divise pas ni a ni b il est premier avec a et b

Posté par
malou Webmaster
re : Arithmétique 04-02-19 à 09:52

Ramanujan, tu sais que tu as des fiches sur notre site....

Arithmétique

penses-tu parfois à les consulter ?

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 04-02-19 à 14:56

si d divise a alors d^2 divise a^2
si d divise b alors d^2 divise b^2
si d divise ab alors d^2 divise (ab)^2

il suffit d'écrire ce que signifie la proposition : l'entier m divise l'entier n

...

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 04-02-19 à 17:55

Ah merci Carpediem je viens de capter !

Si d / a alors a=kd donc d^2 = k^2 d^2 donc d^2 /a^2

Or n=a^2 b^3 = (a b)^2  b = (a^2 b )b^2

Si p / n alors p / (ab)^2 ou p /b^2

Si p / (ab)^2 alors p / ab donc p^2 / (ab)^2 donc p^2 /n

Si p / b alors p^2 / b^2 donc p^2 /n

Posté par
lionel52
re : Arithmétique 04-02-19 à 18:13

Tu as beau faire 5 lignes de blabla difficile à lire tu te sers jamais de p premier !

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 04-02-19 à 18:24

Si je m'en sers car j'utilise le théorème de GAUSS.

Si p/ ab et p premier alors p / a ou p/b

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 04-02-19 à 18:30

lionel52 @ 04-02-2019 à 18:13

Tu as beau faire 5 lignes de blabla difficile à lire tu te sers jamais de p premier !
ben on s'en fout en fait

mais le msg de Ramanujan à 17h55 est du charabia !!!

n = a^2(b^3) = (a^2b)b^2 donc n est multiple de a^2 et de b^2

si d divise un entier il divise tout multiple de cet entier

carpediem @ 04-02-2019 à 14:56

si d divise a alors d^2 divise a^2
si d divise b alors d^2 divise b^2
si d divise ab alors d^2 divise (ab)^2

il suffit d'écrire ce que signifie la proposition : l'entier m divise l'entier n

...

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 04-02-19 à 18:36

Bah mon raisonnement fonctionne je viens de relire, j'ai bien distinguer les cas en utilisant le théorème de Gauss et les 2 égalités.

Je comprends pas comment vous concluez vous avez : a^2 / n et b^2 /n et après ?

Posté par
lionel52
re : Arithmétique 04-02-19 à 18:37

Ramanujan @ 04-02-2019 à 18:24

Si je m'en sers car j'utilise le théorème de GAUSS.

Si p/ ab et p premier alors p / a ou p/b



Bah dis le... tu oublies le point important de la démo...

Carpediem il me semble quil faut montrer que si p divise n alors p^2 divise aussi n

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 04-02-19 à 18:54

Ok Lionel vous avez raison j'ai pas cité le théorème

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 04-02-19 à 19:19

carpediem @ 04-02-2019 à 18:30


n = a^2(b^3) = (a^2b)b^2 = (b)(ab)^2 donc n est multiple de a^2, de b^2 et de (ab)^2

si d divise un entier il divise tout multiple de cet entier

si d divise a alors d divise n et d^2 divise a^2
si d divise b alors d divise n et d^2 divise b^2
si d divise ab alors d divise n et d^2 divise (ab)^2

il suffit d'écrire ce que signifie la proposition : l'entier m divise l'entier n

...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 04-02-19 à 19:57

d premier (appelé p) est ici indispensable pour affirmer que p divise a ou b (et donc ab)

c'est bien ce dont on parle dans l'exo, d'un diviseur de n , pas de a ou b ou ab au départ !!

la suite (à partir de p divise a ou p divise b) ne nécessite effectivement plus rien du tout sur la primalité de p et est totalement évidente
pourquoi faut il donc autant de baratin pour le prouver ???

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 04-02-19 à 20:13

oui je dis évidemment une bêtise à ne pas vouloir que d soit premier ....

il suffit de prendre d = a^2b^2 !!!!



ou plutôt ce que je dis est exact ... mais ne répond pas à la question



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