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Arithmétique

Posté par
RenSama
13-03-19 à 21:44

Bonsoir, j'ai cet exercice d'arithmétique qui me pose problème et je ne sais vraiment pas où commencer

Soient a et b* deux entiers positifs. Montrer que
pgcd(a,b)= a+b -ab +2\sum_{k=1}^{b-1}{E(ka/b)}
où E() désigne la partie entière

Merci de bien m'aider

Posté par
perroquet
re : Arithmétique 15-03-19 à 00:26

Bonjour,  RenSama.

Voici une idée de solution lorsque a est non nul  (le résultat étant évident lorsque a=0).

Dans \mathbb R^2, on considère les 4 points suivants :
O=(0,0)   A=(0,a)    B=(b,0)   C=(b,a).

L'idée est de compter de deux manières différentes le nombre de points situés strictement à l'intérieur du rectangle OACB, à coordonnées entières .

Première manière : il y en a exactement  (a-1)(b-1).

Deuxième manière :
on compte le nombre de points situés à l'intérieur du triangle OCB (côté OC compris ), il y en a exactement
\sum_{k=1}^{b-1} E\left (\dfrac{ka}{b}\right)
On compte maintenant le nombre de points situés à l'intérieur du triangle OCB ...

Fin de l'indication ...

Posté par
sigmabeta
re : Arithmétique 15-03-19 à 11:04

Bonjour;

C'est le formule de Marcelo Polezzi trouvée en 1997 .

Posté par
sigmabeta
re : Arithmétique 15-03-19 à 11:06

Pardon , je voulais dire : la formule .

Posté par
matheuxmatou
re : Arithmétique 15-03-19 à 12:05

m'ouais... admettons

mais quand on voit que Eisenstein avait déjà établi la fameuse démonstration sur les points du rectangle () en début XIXe...

et que la méthode est plus qu'inspirée de notes de Stieltjes de 1918
(voir pages 567-573)
on voit que Polezzi n'a pas découvert l'eau tiède ...

enfin, ne nous étonnons de rien quand on nomme "trinagle de Pascal" un résultat déjà apparent dans des écrits chinois quelques millénaires avant notre ère !

mm

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