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Arithmétique

Posté par
Ramanujan
14-06-19 à 11:50

Bonjour,

On définit les suites (u_n) et (v_n) par :

u_0=v_0=1 et pour tout entier naturel n : u_{n+1}=2u_n + 3v_n et v_{n+1}=2u_n+v_n

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

1/ Quelles formules ont été rentrées en B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
Ma réponse : en B3 il faut rentrer : 2*B2 + 3*C2 et en C3 : 2*B2+C2

2/ Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de \text{PGCD}(u_n,v_n). Aucun justification n'est demandée.
Je trouve : \text{PGCD}(u_n,v_n)=1

3/ Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, on obtient les résultats suivants. On émet la conjecture que la suite (\dfrac{u_n}{v_n}) converge. Qu'en pensez ?
Je trouve : elle semble converger car le quotient diminue.

4/ Démontrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n on a : 2u_n -3v_n = (-1)^{n+1}
Trivial.

5/ Soit n \in \N. En déduire de la question précédente :  \text{PGCD}(u_n,v_n)

Je bloque sur cette question.

Arithmétique

Arithmétique

Posté par
Sylvieg
re : Arithmétique 14-06-19 à 12:06

Bonjour,
Pour 5), c'est Bezout.

Pour 3), revoir cette phrase :

Citation :
elle semble converger car le quotient diminue.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 14-06-19 à 12:45

salut

3/ et puisque tu utilises un tableur pourquoi ne pas créer une troisième colonne donnant u_n / v_n ? ... qui permettrait de donner une réponse raisonnable et censée ... à la question posée !!!

on ne te demande pas de proposer de dire que la suite converge (avec une justification déraisonnable), on te demande ce que tu penses de cette affirmation

mais je trouve cette question dénuée de sens ... comment peut-on proposer une telle question à partir de quatre valeurs alors que clairement le tableur est utilisé ... donc autant aller au bout de ce qu'on peut faire avec ...


pour aller plus loin :

il est immédiat que u_{n + 1} + v_{n + 1} = 4(u_n + v_n)

cette relation et la relation de la question 4/ permettent d'exprimer u_n et v_n en fonction de n ...

amuse-toi bien !

Posté par
Ramanujan
re : Arithmétique 14-06-19 à 12:53

D'accord merci !

Mais j'ai du (-1)^{n+1} et pas du 1 alors comment utiliser Bezout ?

Faire 2 cas n pair et n impair ?

Posté par
Sylvieg
re : Arithmétique 14-06-19 à 13:44

2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1}           2u_n - 3v_n = \pm 1

D'où    2u_n - 3v_n = 1    ou     ... u_n + ...v_n = 1

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 14-06-19 à 14:09

ou plus simplement quels sont les diviseurs de -1 ?

Posté par
Sylvieg
re : Arithmétique 14-06-19 à 14:26

Oui, plus simple  

Posté par
Ramanujan
re : Arithmétique 14-06-19 à 19:31

On a :   2u_n - 3v_n = 1    ou     -2 u_n + 3 v_n = 1

C'est quoi le rapport avec les diviseurs de -1 ?

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 14-06-19 à 19:46

connaitre les diviseurs de -1 et + 1 permet de conclure sur le pgcd des nombres u_n et v_n ... vu les relations ...

Posté par
Ramanujan
re : Arithmétique 14-06-19 à 20:18

Ou bien les diviseurs de (-1)^{n+1} ...

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