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Niveau Reprise d'études-Ter
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Arithmétique

Posté par Profil Ramanujan 08-08-19 à 14:12

Bonjour,

Soit n \in \N. Montrer que 24 divise toujours le produit n(n+1)(n+2)(n+3)
Indication : on pourra utiliser les coefficient binomiaux ou examiner les restes des divisions euclidiennes du produit tex]n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex] par 4 et 3.

Je n'ai rien compris
Le coefficient binomial je ne vois pas du tout, pour les restes on ne connait même pas n comment je pourrais calculer les restes

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:22

Bonjour,
Tu ne sais pas utiliser du modulo 3 ou du modulo 4 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:24

Ou si tu n'as pas encore vu les congruences dans ton livre de chevet, tu n'as pas 36 possibilités pour des restes, que ce soit par 3 ou par 4 .

Posté par
pgeodre : Arithmétique 08-08-19 à 14:25

n, n+1, n+2 et n+3 sont 4 entiers consécutifs
Montre que l'un au moins est un multiple de 3
Montre que l'un est un multiple de 4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:26

Pour ce qui est d'utiliser un coefficient binomial, je te laisse chercher. C'est trop immédiat.

Posté par
flightre : Arithmétique 08-08-19 à 14:28

Salut
Pour le coefficient binomiale, que dis tu de .....****message modéré***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:30

Raté pour la recherche

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique 08-08-19 à 14:31

pas sûr ...
flight grrrrr

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 14:31

Les congruences c'est vu en terminale donc si je l'ai déjà vu mais comment faire des congruences mais ici je ne connais pas la valeur de n...

@pgeod
Je ne vois pas comment partir je ne connais pas la valeur de n

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 14:33

n(n+1)(n+2)(n+3) = \dfrac{n!}{(n+4)!} mais ça m'avance à rien.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:34

Vigilante malou

@Ramanujan,
La disjonction des cas, tu connais ?

Citation :
tu n'as pas 36 possibilités pour des restes, que ce soit par 3 ou par 4 .

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 14:38

Divisibilité par 3 : le reste peut valoir 0, 1 ou 2.

Si n(n+1)(n+2)(n+3) \equiv 0 [3] et là je ne sais pas quoi faire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:39

Rectifie ceci qui est faux : n(n+1)(n+2)(n+3) = \dfrac{n!}{(n+4)!}
Et tu ne seras pas loin pour le coefficient binomial.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 14:42

Citation :
Si n(n+1)(n+2)(n+3) \equiv 0 [3] et là je ne sais pas quoi faire.
Normal, tu pars d'une partie de la conclusion avec un "si" devant.

Bon, tu arrêtes de poster pendant au moins 15mn et tu réfléchis seul.

Posté par
cocolaricottere : Arithmétique 08-08-19 à 14:57

J'ai très peur si jamais un jour cette personne réussit le CAPES

Citation :
Je ne vois pas comment partir je ne connais pas la valeur de n


comment saura-t elle expliquer n'importe quel cours utilisant des variables possédant  très souvent des valeurs inconnues  ?

Quel esprit tout sauf rigoureux , ni curieux,  ni scientifique !

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 15:02

Je suis nul en arithmétique, c'est le chapitre que j'aime le moins.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 15:08

salut

Ramanujan @ 08-08-2019 à 14:31

Les congruences c'est vu en terminale donc si je l'ai déjà vu mais comment faire des congruences mais ici je ne connais pas la valeur de n... voir plus bas

@pgeod
Je ne vois pas comment partir je ne connais pas la valeur de n  ben c'est une évidence puisqu'on veut montrer cela pour tous les entiers ... maintenant si tu veux tu commences par 0, puis 1, puis 2, .... puis enfin tu te mets à te servir de ton cerveau : voir plus bas
on se fout que ce soit vu en terminale ou à bac + vingt-douze !!!

tu as un cerveau dont les deux fonctions principales sont la réflexion et la mémorisation ... peut-être serait-il temps de t'en servir ... avec une feuille et un crayon ...

il y a trois méthodes pour résoudre ce pb :

1/ par récurrence ... mais calculatoire et fastidieux ...
2/ par disjonction de cas ... avec éventuellement l'utilisation des congruences (dans l'écriture du raisonnement ... mais ce n'est pas une obligation)
3/ avec une propriété élémentaire qui permet de conclure en trois lignes ... et que tout être pensant peut déduire d'après sa simple connaissance de ses tables de multiplication ...

alors mets toi un peu au boulot !!! au lieu de gémir régulièrement que tu n'as pas fait ... alors que tu postes régulièrement la même chose !!! que tu oublies régulièrement ...

le principe de l'activité intellectuelle c'est l'acquisition d'une expérience ou encore savoir qui conduit à reconnaitre des situations identiques au travers d'exercices variés ... qui ne changent que par le contexte mais utilisent toujours les mêmes propriétés et théorèmes que tu n'acquiers jamais ...

mais quand vas-tu avancer ??

Posté par
cocolaricottere : Arithmétique 08-08-19 à 15:08

Alors bosse le niveau Terminale et reviens poser tes questions quand tu maitriseras les bases avant de t'attaquer à plus coriace.

Posté par
pgeodre : Arithmétique 08-08-19 à 15:13

Début de démonstration pour la divisibilité par 3 :

si = n = 3p alors 3 divise n alors 3 divise le produit n (n+1) (n+2) (n+3)
si n = 3p + 1 alors n+2 = 3p + 3 = 3(p + 1) alors 3 divise (n+2) alors3 divise  le produit n (n+1) (n+2) (n+3)
si n = 3p + 2alors …

A faire ensuite pour la divisibilité par 4.

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 15:15

Sylvieg @ 08-08-2019 à 14:39

Rectifie ceci  qui est faux :   n(n+1)(n+2)(n+3) = \dfrac{n!}{(n+4)!}
Et tu ne seras pas loin pour le coefficient binomial.


n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=\dfrac{(n+3)!}{(n-1)!}

Donc n(n+1)(n+2)(n+3)= 4! \binom{n+3}{4} =24 \times  \binom{n+3}{4}

Il existe un entier q=\binom{n+3}{4} tel que (n+1)(n+2)(n+3)=24q

Donc 24 divise n(n+1)(n+2)(n+3)

Comme je l'ai dit quand c'est pas de l'arithmétique je suis plus à l'aise !

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique 08-08-19 à 15:26

et quand ce sont des factorielles, tu n'es pas à l'aise non plus ?

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 15:30

Merci pgeaod.
Ok Carpediem.
C'est un exercice que j'ai trouvé dans un exam de L1 mais je pense qu'il est faisable en terminale S.

Divisibilité par 3 :
Si n=3p alors 3 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Si n=3p+1 alors n+2=3p+3 donc 3 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Si n=3p+2 alors n+1=3p+3 donc 3 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Dans tous les cas le résultat est démontré.

Divisibilité par 4 :
Si n=4p alors 4 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Si n=4p+1 alors n+3=4p+4=4(p+1) donc 4 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Si n=4p+2 alors n+2=4(p+1) donc 4 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Si n=4p+3 alors n+1=4(p+1) donc 4 / \ n (n+1) (n+2) (n+3)
Dans tous les cas le résultat est démontré.

Le produit N=n (n+1) (n+2) (n+3) est donc divisible par 3 et 4.

On a N \equiv 0 [3] et N \equiv 0 [4]

Maintenant pour montrer que 24 / N je cale un peu...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 15:50

Le produit d'un entier multiple de 4 par un entier pair est multiple de ...

Si tu n'as pas l'idée de ce genre de chose en moins d'une minute, inutile d'essayer d'enseigner en lycée. C'est la cata assurée.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 16:00

allez amusons-nous un peu ...

le nombre n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est donc multiple de 24

pour quelle valeur de n ce nombre est multiple de 72 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:02

De quel entier pair parlez vous

N est un multiple de 3 et de 4 donc \exists a,b \in \N \ tel que N=3a et N=4b

Il faut montrer qu'il existe q \in \N \ N=24q=2 \times 3 \times 4 \times q

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:03

carpediem @ 08-08-2019 à 16:00

allez amusons-nous un peu ...

le nombre n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est donc multiple de 24

pour quelle valeur de n ce nombre est multiple de 72 ?


Je n'ai pas encore compris pourquoi c'est un multiple de 24.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 16:03

Citation :
le nombre n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est donc multiple de 24
Non encore démontré...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique 08-08-19 à 16:06

Citation :
De quel entier pair parlez vous
Cherche le, trouve le parmi n, n+1, n+2, n+3.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 16:14

que peux-tu dire des entiers :

n et n + 1 ?
n et n + 2 ?
n + 1 et n + 3 ?

conclusion ?

RAP : voir en rouge

Citation :
il y a trois quatre méthodes pour résoudre ce pb :

1/ par récurrence ... mais calculatoire et fastidieux ...
2/ par disjonction de cas ... avec éventuellement l'utilisation des congruences (dans l'écriture du raisonnement ... mais ce n'est pas une obligation)
3/ avec une propriété élémentaire qui permet de conclure en trois lignes ... et que tout être pensant peut déduire d'après sa simple connaissance de ses tables de multiplication ...
4/ avec les coefficient binomiaux ... lorsqu'on les connait ...

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:18

Il y a forcément un entier pair entre n et n+1 et forcément un entier pair entre n+2 et n+3.
Donc N=2 \times 2 = 4q avec q \in \N
On remarque que 4 divise bien N.

Mais 3 \ N donc 3 \ q d'après le théorème de Gauss. Donc q=3q' avec q' \in \N
Donc N=12 qq'=12q''

On a montré que 12 / N. Mais je n'obtiens pas que 24 divise N

Posté par
lionel52re : Arithmétique 08-08-19 à 16:22

Parmi 4 entiers consécutifs y en a un qui est divisible par 2, un autre par 4....

Après faut pas jeter la pierre à  Ramanujan, comme il le dit à part en arithmétique il est vraiment à l'aise!  (la blague!)

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:23

lionel52 @ 08-08-2019 à 16:22

Parmi 4 entiers consécutifs y en a un qui est divisible par 2, un autre par 4....

Après faut pas jeter la pierre à  Ramanujan, comme il le dit à part en arithmétique il est vraiment à l'aise!  (la blague!)


La solution je l'ai trouvé avec les coefficients binomiaux.

Je ne connaissais pas ce résultat.

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:28

Sylvieg @ 08-08-2019 à 16:06

Citation :
De quel entier pair parlez vous
Cherche le, trouve le parmi  n, n+1, n+2, n+3.


Il y en a 2 mais c'est pas suffisant pour démontrer que 24 divise N.

Posté par
lionel52re : Arithmétique 08-08-19 à 16:30

Ramanujan @ 08-08-2019 à 16:23

lionel52 @ 08-08-2019 à 16:22

Parmi 4 entiers consécutifs y en a un qui est divisible par 2, un autre par 4....

Après faut pas jeter la pierre à  Ramanujan, comme il le dit à part en arithmétique il est vraiment à l'aise!  (la blague!)


La solution je l'ai trouvé avec les coefficients binomiaux.

Je ne connaissais pas ce résultat.




C'est pas un théorème c'est de la logique, quand tu fais un peu de maths ça doit te sauter aux yeux, jsuis désolé.

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:41

Je ne vois pas comment montrer qu'il y en a un qui est divisible par 4...

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique 08-08-19 à 16:42

Citation :
La solution je l'ai trouvé avec les coefficients binomiaux.

hum...avec une égalité fausse....

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:47

malou @ 08-08-2019 à 16:42

Citation :
La solution je l'ai trouvé avec les coefficients binomiaux.

hum...avec une égalité fausse....


Erreur de frappe on part de : n(n+1)(n+2)(n+3)=\dfrac{(n+3)!}{(n-1)!} le reste est bon.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 16:51

Ramanujan @ 08-08-2019 à 16:18

Il y a forcément un entier pair entre n et n+1 et forcément un entier pair entre n+2 et n+3.
visiblement tu n'as pas lu ce que j'ai écrit ...

PS : j'ai effacé le reste de ton msg qui n'est que charabia ...

PPS : lionel52 a donné la réponse pour ma méthode 3 ...

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 16:57

Supposons par l'absurde qu'aucun de 4 nombres consécutifs n'est divisible par 4.

Si n=4p+1 alors : n+3=4p+4 est divisible par 4 ce qui est absurde.
Si n=4p+2 alors : n+2=4p+4 est divisible par 4 ce qui est absurde.
Si n=4p+3 alors : n+1=4p+4 est divisible par 4 ce qui est absurde.

Conclusion : il existe au moins un nombre parmi 4 consécutifs qui est divisible par 4.

Ainsi : N=4a et N=3b avec (a,b) \in \N^2

Mais 4 divise N donc 4 divise b donc N=12c avec c \in \N

Donc 12 divise N. Comme tout à l'heure je n'arrive pas à 24 divise N

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 17:00

Si j'ai lu mais je ne vois pas où ça mène :

n et n + 1 ?  pas la même parité
n et n + 2 ?  la même parité
n + 1 et n + 3 ?  la même parité

conclusion ?  je ne vois pas

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 17:12

J'ai trouvé finalement en utilisant les remarques de Sylvieg "Le produit d'un entier multiple de  4  par un entier pair est multiple de ... " et de Lionel.

Dans 4 nombres consécutifs il existe un entier pair et un entier divisible par 4 donc :
N= 2 \times 4 \times q = 8q

Mais 3 divise N et comme pgcd(8,3)=1 alors il existe un entier q' tel que : q=8q'

Finalement : N=8 \times 3 q'=24q'

Mais je me demande dans l'exercice ça nous a servit a quoi de montrer que 4 divise N

Posté par
co11re : Arithmétique 08-08-19 à 17:29

Il aurait peut-être été plus simple pour toi qu' on te suggère directement de montrer que ce nombre est divisible par 8 ?

Posté par
matheuxmatoure : Arithmétique 08-08-19 à 17:31

Ramanujan @ 08-08-2019 à 17:12



Dans 4 nombres consécutifs il existe un entier pair et un entier différent divisible par 4


soyons rigoureux !

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 17:57

co11 @ 08-08-2019 à 17:29

Il aurait peut-être été plus simple pour toi qu' on te suggère directement de montrer que ce nombre est divisible par 8 ?


Le fait de montrer "il est divisible par 4" était un indice pour montrer qu'il existait un entier parmi les 4 qui soit divisible par 4 ?

Posté par
co11re : Arithmétique 08-08-19 à 18:40

Sans doute

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 19:30

Ramanujan @ 08-08-2019 à 16:57

Supposons par l'absurde qu'aucun de 4 nombres consécutifs n'est divisible par 4.
il est absurde de raisonner par l'absurde avec tout ce que j'ai dit précédemment ...

carpediem @ 08-08-2019 à 16:14

que peux-tu dire des entiers :

n et n + 1 ?
n et n + 2 ?
n + 1 et n + 3 ?

conclusion ?

Posté par Profil Ramanujanre : Arithmétique 08-08-19 à 19:55

Je ne vois pas où vous voulez en venir Carpediem.

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique 08-08-19 à 20:01

cherche, prends des exemples ! ce que te dit carpediem fait partie des raisonnements utilisés en arithmétique dès le début du programme...sans aucun outil particulier

Posté par
flightre : Arithmétique 08-08-19 à 22:08

mais j'y pense ..il y avait peut etre bien plus simple que 10km de post ,

si on pose  An = (n+3)!/(n-1)!  = (n+3)(n+2)(n+1)n   et qu'on "suppose " que 24 divise

An ,  pourquoi ne pas le montrer par récurrence en travaillant sur An+1 ...non?

Posté par
carpediemre : Arithmétique 08-08-19 à 22:16

voir à 15h08 ...

certes utiliser le coef binomial facilite dans une certaine mesure l'aspect calculatoire ... mais bof ...

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