Bonjour Jaina

Je pense peut-être à quelque chose de compliqué mais je voudrais te poser une question. Connaîs-tu le théorème des 2 carrés ?

Kaiser

euh non ça ne me dit rien...

OK ! Dans ce cas, on va essayer de se débrouiller autrement. On va partir de de ton idée initiale, à savoir écrire et avec A et B, d'une part, et C et D, d'autre part, premiers entre eux.
En réduisant le tout au même dénominateur, on a :

.

Je propose alors de raisonner par l'absurde et d'utiliser les congruences.
Par exemple, commence par étudier les restes possibles d'un carré modulo 4.

Kaiser

Si a est pair,
Si a est impair

...

Euh, que faut il faire ensuite ?
Si l'on raisonne par l'absurde, il faut supposer que p-1 n'est pas divisible par 4...
Je n'arrive pas à faire le lien.

Merci beaucoup de m'aider !!

Avant de poursuivre, je viens de me rendre compte de quelque chose qui peut aider.
On a nécessairement B=D.
En effet, la dernière égalité de mon message de 17h09 permet de dire que B² divise (AD)². Or B et A sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, B² divise D².
De même D² divise B², d'où B=D.

On a donc .

Sinon, pour revenir à ta question, comme p est un nombre premier impair alors modulo 4, p est soit congru à 1, soit à -1.
Autre chose : dans l'égalité que j'ai écrite précédemment, on affaire à un carré et à la somme de 2 carrés. Il faut donc aussi s'intéresser aux restes possibles de la somme de 2 carrés modulo 4.

Kaiser

J'avais essayé de faire cela, j'étais parvenu à la même équation, mais c'est justement là que je bloque...

Les restes possibles sont -2,-1,0,1,2  ?

Je n'arrive pas à avancer...

Bonjour Jaina

Bonjour Kaiser,

Cela concernait .

Est ce que je dois plutot écrire ça sous la forme :

?

Je suis vraiment désepéré, c'est la première question du problème et je n'arrive même pas à la résoudre...

Merci.

Cette écriture est fausse !
Autre chose : B² est congru soit à 0, soit à 1 modulo 4.
En ayant supposé par l'absurde que p-1 n'est pas divisible par 4, on a que p est congru à -1 modulo 4. Ainsi, p² est soit congru à 0 soit à -1 modulo 4.

Euh oui je voulait écrire

(p-1)B^2 et non p-1.

Je n'ai pas compris tout le raisonnement.
pourquoi B^2 ne peut pas être congru à -1 ?

Si p-1 n'est pas divisible par 4, p est congru à -1 modulo 4. OK
Donc pB^2 est soit congru à 0 soit à -1 modulo 4.
(au lieu de p^2 ?)

Ensuite, on voit assez facilement que le somme de 2 carrés est congrue soit à 0, soit à 1, soit à 2 modulo 4.
À partir de là, tu devrais pouvoir conclure.

Puisque un carré ne peut être congru que à 0 ou 1

et que est la somme de deux carré, ne peut que être congru à 0 mod 4 ?

Si est congru à 0 mod 4, est divisible par 4 et et aussi. Contradiction car B est sensé être premier avec A et B ?

Est-ce correct ?

Oui, c'est ça sauf que tu voulais plutôt dire que A² et C² étaient divisibles par 4 (et non A² et B²)
Sinon, ça me paraît correct !

oui, erreur de ma part...

MERCI beaucoup beaucoup !!!!!


:)

Mais je t'en prie !