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Arithmétique

Posté par
manu_du_40 21-10-20 à 21:20

Bonsoir.
J'aurais juste besoin que vous me vérifiez ce petit exercice d'arithmétique.
(Si vous avez une méthode moins "bourrine" , je prends aussi).

Je cherche à déterminer le dernier chiffre du nombre N=7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}} (7 est écrit 7 fois en comptant la base).

J'ai d'abord constaté en calculant les premières puissances de 7 qu'on avait
7^{4k} \equiv 1 [10]
7^{4k+1} \equiv 7 [10]
7^{4k+2} \equiv  9 [10]
7^{4k+3} \equiv  3 [10]

Je cherche donc le reste de la division euclidienne de P=7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}} (écrit 6 fois en comptant la base) par 4.
Ce nombre P est impair (sa décomposition en facteurs premiers n'a que des 7) donc
P\equiv 1 [4] ou P\equiv 3 [4]

De plus,
7^k \equiv 1 [4] si k est pair et 7^k \equiv 3 [4] si k est impair.

Posons P'=7^{7^{7^{7^{7}}}}. On a P=7^{P'} avec P' impair donc
P \equiv 3 [4]

Ainsi, N=7^{P}=7^{4k+3} donc N \equiv 3 [10].

Merci à ceux qui m'auront lu.

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 21-10-20 à 22:04

Bonsoir manu_du_40.

Alors effectivement :

Modulo 10 on a 7^p = \begin{cases} 1&\text{ si } p=0~[4]  \\7&\text{ si } p=1~[4]  \\9&\text{ si } p=2~[4]  \\\blue 3&\blue\text{ si } p=3~[4]  \end{cases}

Modulo 4  on a 7^q = \begin{cases} 1&\text{ si } q=0~[2]  \\\blue 3&\blue \text{ si } q=1~[2]\end{cases}

Modulo 2  on a \blue 7^r = 1

\text {On pose alors }r = 7^{7^{7^7}} puis

q = 7^r = 1~[2] donc

p = 7^q = 3~[4] donc

N = 7^p = 3~[10] donc 3 est ton chiffre cherché.

Posté par
manu_du_40re : Arithmétique 21-10-20 à 22:15

Merci jsvdb.

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 21-10-20 à 22:43

Au passage

N=7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}} (7 est écrit 7 fois en comptant la base) se note 7\uparrow\uparrow 7

P=7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}} (écrit 6 fois en comptant la base) se note 7\uparrow\uparrow 6

Ce sont les flèches de Knuth. Elle permettent d'écrire de très grands nombres

Posté par
mousse42re : Arithmétique 22-10-20 à 02:05

Bonsoir,

Je propose une autre méthode (Théorème d'Euler)

Je pose T_p:=7\uparrow\uparrow p puisque $pgcd(T_p,10)=1

Et \varphi(10)=4

Ainsi on a :

\large T_7=T_6^7=7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}


On a :

\Large \begin{array}{ll}T_7&=T_6^7=T_6^4T_6^3=T_6^3=T_5^{21}=(T_5^4)^5T_5=T_5\\\\&=T_4^7=T_4^4T_4^3=T_4^3=T_3^{21}=(T_3^4)^5T_3=T_2^7=T_2^4T_2^3=T_2^3=T_1^{21}\\\\&=(T_1^4)^5T_1=T_1=7\pmod{10}\end{array}

Posté par
mousse42re : Arithmétique 22-10-20 à 04:04

D'ailleurs tu étais près du résutat car tu as noté que

7^{4k}=1\pmod{10} pour tout k\in \N

Il suffisait de continuer ainsi


Or 7^{4k}=(7^k)^4=1\pmod{10}

7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}=\left(7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\right)^4\cdot\left(7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\right)^3=\left(7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}\right)^3 \pmod{10}

Posté par
etniopalre : Arithmétique 22-10-20 à 08:33

N=7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}} (7 est

Posté par
jsvdbre : Arithmétique 22-10-20 à 08:51

Y'a un hic Mousse : T7 = 7^T6. L'exponentiation n'est pas commutative.

Posté par
etniopalre : Arithmétique 22-10-20 à 08:52


   Soit u :  *    définie par u(1) = 7 et u(n+1) = (u(n))7 pour tout n * .

Modulo 10 on a  :
u(1) = 7  = -3 ,
u(2) = (-3)7  =   9.9.9.(-3) = 3

Ceci me semble permettre de trouver  pour chaque n le reste de la division de u(n) par 10 .

Posté par
etniopalre : Arithmétique 22-10-20 à 08:57

        ***  mais u(7) n'est pas  7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}  !!!

Posté par
mousse42re : Arithmétique 22-10-20 à 10:08

Salut

Je ne comprends pas, c'est faux ce que j'ai noté??

Posté par
mousse42re : Arithmétique 22-10-20 à 10:11

ah oui, je viens de comprendre

Posté par
mousse42re : Arithmétique 22-10-20 à 10:13

quelle horreur, moi qui pensais avoir dit un truc intelligent

Posté par
manu_du_40re : Arithmétique 22-10-20 à 13:45

Bonjour à tous,

je vois que ce sujet a fait parler. Merci pour la référence sur Knuth jsvdb, je ne connaissais pas.

Manu


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