Bonsoir,

Factorise n³+2n et n⁴+3n²+1, et compare les facteurs.

Bonsoir,

pgcd(a,b) = pgcd(a, b-aq)

C'est intéressant si on s'arrange pour que b-aq soit "plus petit" que a ...

Bonsoir LeHibou Bonsoir GBZM

LeHibou si je factorise j'obtiens n(n²+2)   et  (n²+2)(n²+1)  -1      (il y a un  1 qui se balade,  quel est le procédé à suivre ? )

GBZM  Par l'algorithme d'Euclide  pgcd(a,b) = pgcd(a, b-aq),  

pgcd(n³ + 2n , n⁴+3n²+1) = pgcd(n³+ 2n , n⁴+3n²+1 - (n³+2n)n)

pgcd(n³ + 2n , n⁴+3n²+1)= pgcd(n³ + 2n , n²+1)

du fait que pgcd(a,bc)= pgcd(a,c)   avec (a^b= 1)   (^ :  signifie pgcd)

on obtient : pgcd(n³ + 2n , n²+1)
= pgcd(n²+2, n²+1)  

or (n²+1) ^ (n² +1 ) = 1

En effet,  n²+2 = (n²+1)*1 + 1

donc, pgcd(n²+2, n²+1)   = 1

Par conséquent,  pgcd(n³+ 2n , n⁴ + 3n² +1 ) = 1

(est ce juste ? )   était-ce là où tu voulais en venir  ?

Le méthode de GBZM était la bonne.

J'ai tout de même poussé celle que je proposais plus loin, juste pour voir
Je factorise n⁴+3n²+1 sur en considérant que c'est un polynôme de degré 2 en n²
Je vous passe les détails, en posant :
p1 = (3-5)/2 et p2 = (3+5)/2
n⁴+3n²+1 = (n² + p1)(n² + p2)
On a p1 > 0 et p2 > 0, donc es deux facteurs ne sont pas factorisables en facteurs de degré 1  sur  
A partir de là :
n ne divise ni  (n² + p1) ni (n² + p2)
(n² + 2) ne divise ni  (n² + p1) ni (n² + p2)
car p1 2 et p22
Il n'y a donc aucun facteur de degré > 0 commun entre (n³ + 2n) et (n⁴ + 3n² + 1)
Donc PGCD = 1

C'est moins classique et moins élégant que la méthode de GBZM qui évite l'invocation de racines suur .
Si tu dois rendre quelque chose par écrit, tu sais laquelle utiliser

Tu es arrivé au bout, mais j'aurais plutôt procédé ainsi (toujours dans l'esprit de l'algorithme d'Euclide) :
pgcd(n³ + 2n, n⁴ + 3n² + 1) = pgcd(n³ + 2n, n²+1) = pgcd(n, n²+1) = pgcd(n, 1)