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Arithmétique.

Posté par
matheux14 02-04-21 à 08:47

Bonjour ,

Merci d'avance.

1) Résoudre dans \N² , les équations :

a) x³- y³= 2018.

b) x²+y² = 725.

2) Démontrer par récurrence que :

\forall n \in \N tel que n \ge 1 et \forall x \neq k\pi on a :

\sum ^{n}_{k=1}\cos(2k-1)x=\cos(nx)\dfrac{\sin(nx)}{\sin x}

Pour 1-a) J'ai décomposé 2018 en produits de facteurs premiers.
Mais je ne vois pas comment faire après.

Comment je faire ?

Est-ce pareil pour 1-b) ?

Pour 2) je ne vois pas vraiment comment faire..

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique. 02-04-21 à 08:51

bonjour
je ne fais que passer
1-a) et cette décomposition est ....ce serait la moindre des choses matheux14

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 08:57

2018=2×1009

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique. 02-04-21 à 09:23

x³-y³=(x-y)(\dots)

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 11:07

Bonjour,

j'avais lu x2 -y2 !!
(les caractères  "exposant 3" ³ sont quasi illisibles, en plus d'être compliqués à taper et ne survivant pas à un éventuelle édition du message)

pour écrire un exposant sans ambiguïté on écrit
x^3 - y^3

ou le bouton X2 qui met ce qu'on veut en exposant de ce qu'on veut
a[sup]3[/sup] pour a3 (vérifier avec le bouton Aperçu est obligatoire)

ou en utilisant le LaTeX (mais pour de simples polynomes ça ne vaut pas forcément le coup, c'est juste plus beau)

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 14:18

D'accord , sinon il n'est pas difficile à taper chez moi..

x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 15:06

et d'autre part c'est égal à 2×1009
il n'y a pas tant de cas que ça à essayer pour ce produit de deux facteurs entiers....

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 15:20

(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=2×1009

Soit x-y=2 et (x^{2}+xy+y^{2})=1009

Soit x-y=1009 et (x^{2}+xy+y^{2})=2

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 15:50

Le pb maintenant c'est comment résoudre x^{2}+xy+y^{2}=1009 et x^{2}+xy+y^{2}=2 ..

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique. 02-04-21 à 15:52

quelle idée de s'attaquer justement à celles-là !
intéresse toi plutôt à l'autre !

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 16:34

* x-y = 2 a pour solution générale tous couples de la forme (k+2 ; k) avec k de Z.

* x-y=1009 a pour solution générale tous couples de la forme (k+2018 ; k+1009) avec k de Z.

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique. 02-04-21 à 16:38

ce n'est pas parce que tu traites de l'arithmétique que tu dois perdre ton bon sens

x-y=2
x=y+2
et je remplace dans l'autre ! et je résous et je vois si ce que je trouve peut être solution

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 17:46

Je ne l'ai pas résolu arithmétiquement..

J'ai tout simplement remarqué que x-y=2 pour x=3 et y=1 ; x=4 et y=3...

Par conjecture j'ai bien x= k+2 et y=k..

Pareil pour l'autre..

Mais  j'aurais dû y penser.

Et celle de 15 h 50 ?

Je fais comment ?

Posté par
malou Webmasterre : Arithmétique. 02-04-21 à 17:48

malou @ 02-04-2021 à 16:38

ce n'est pas parce que tu traites de l'arithmétique que tu dois perdre ton bon sens

x-y=2
x=y+2
et je remplace dans l'autre ! et je résous et je vois si ce que je trouve peut être solution

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 18:29

D'accord

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 19:35

x^{2}+xy+y^{2}=1009 et x^{2}+xy+y^{2}=2

N'ont pas pas de solution..

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 20:10

ce n'est pas ce qu'on te propose de faire !!

cas x-y=2
donc x = y+2
alors x² + xy + y²= 1009 s'écrit (y+2)² + y(y+2) + y² = 1009
équation du second degré en la seule inconnue y dont on cherche les solutions

il s'agit pour ce cas là de résoudre le système

\left\{\begin{array}l x-y=2 \\ x^2 + xy+y^2 = 1009\end{array}\right.

pas deux équations indépendantes !

parce que ce que tu dis :
x² + xy + y² = 1009 sans condition sur x est un tout autre problème !
cette équation prise toute seule a des solutions, elle.
(et c'est plus compliqué que ce que tu as à faire ici de les chercher pour tester ensuite si elles conviennent à x-y=2)

et pareil pour les trois autres cas :
x-y=1,
x-y = 1009
et x-y = 2018

certaines sont à éliminer facilement mais à condition de dire explicitement pourquoi
et pas dans le genre de ta conjecture pour "résoudre x-y=2" !!

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 20:14

Je sais ,  mais ces deux n'ont pas de solutions dans IN..

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 21:00

le système, non

mais

Citation :
x² + xy + y² = 1009 sans condition sur x est un tout autre problème !
cette équation prise toute seule a des solutions, elle.
dans N bien entendu !! on ne parle que de ça ici :
8² + 8*27 + 27² = 1009

donc affirmer x² + xy + y² = 1009 n'a pas de solution est faux
et une grave erreur de méthode :
suite à la factorisation, on résout des systèmes, pas des équations individuelles

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 21:12

Comment avez vous résolu  x²+xy+y²=1009 ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 21:22

avec un programme qui balaye toutes les valeurs < 1009

mais ceci ne sert à rien ici parce que résoudre l'équation ordinaire du second degré en la seule inconnue y :
(y+2)² + y(y+2) + y² = 1009
est la bonne méthode à appliquer dans cet exo.

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 21:24

Citation :
et une grave erreur de méthode :
suite à la factorisation, on résout des systèmes, pas des équations individuelles


Donc résoudre le système \begin{cases}x+y=2 \\ x²+xy+y²=1009\end{cases}

Et le système

\begin{cases}x+y=1009 \\ x²+xy+y²=2 \end{cases}

?

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 02-04-21 à 21:41

erreurs de recopies de signes faux depuis quelques messages

x moins y , pas x+y

donc oui, résoudre les quatre systèmes

\begin{cases}x-y=1 \\ x^2+xy+y^2=2018\end{cases}
et

\begin{cases}x-y=2\\ x^2+xy+y^2=1009\end{cases}
et

\begin{cases}x-y=1009\\ x^2+xy+y^2=2\end{cases}
et

\begin{cases}x-y=2018\\ x^2+xy+y^2=1\end{cases}

(il y a 4 diviseurs de 2018 : 1, 2, 1009 et 2018)

et ça se fait par substitution comme, déja dit il y a longtemps
sur l"exemple :

\begin{cases}x-y=2\\ x^2+xy+y^2=1009\end{cases}



\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)^2+y(y+2)+y^2=1009\end{cases}
etc

Posté par
carpediemre : Arithmétique. 02-04-21 à 21:55

salut

une première remarque :

matheux14 @ 02-04-2021 à 08:47

1) Résoudre dans \N² , les équations :

a) x³- y³= 2018.

j'ai décomposé 2018 en produits de facteurs premiers.
Mais je ne vois pas comment faire après.
donc tu fais quelque chose sans savoir pourquoi !!

quand on fait quelque chose c'est qu'on a une idée derrière la tête ...
elle peut ne pas être bonne et ne pas permettre de résoudre le pb mais on a agit et mis une stratégie malheureusement pas payante !!!


enfin maintenant que mathafou a fait tout ton travail pour te faciliter encore le travail on peut remarquer que :

x^2 + xy + y^2 = (x - y)^2 - 3xy or on ajustement x - y !!!

donc ça simplifie considérablement les choses d'autant qu'on fait apparaitre un facteur 3

deux cas alors :

le reste n'est pas multiple de 3 et c'est fini
le reste est multiple de 3 et on simplifie considérablement les valeurs numériques

je préfère amplement résoudre

x - y = truc
xy = machin

que les systèmes initiaux ... d'autant plus que ça me fait penser à un bidule de première ce genre de système ...

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 02-04-21 à 22:28

Aucune solution de IN..

x3-y3=2018 n'admet pas de solution dans IN2

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 03-04-21 à 09:47

Bonjour ,

Les solutions dans \R^{2} :

S_{\R²}\left\{\left(\dfrac{3-\sqrt{24213}}{6} ; \dfrac{-3-\sqrt{24213}}{6}\right)~;~\left(\dfrac{3+\sqrt{24213}}{6} ; \dfrac{-3+\sqrt{24213}}{6}\right)~;~\left(1-4\sqrt{21} ; -1-4\sqrt{21}\right)~;~\left(1+4\sqrt{21} ; -1+4\sqrt{21}\right)\right\}

1-b) x^{2}+y^{2}=725

(x+y)²-2xy=5²×29

(x+y)²-2xy=5³-2×1450

Alors çà va ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 03-04-21 à 10:34

n'admet pas de solution dans IN2
affirmation gratuite sans preuve.

Les solutions dans \R^{2} :

faux
quel que soit x Réel on trouve une valeur de y réelle correspondante.

y = \sqrt[3]{x^3 - 2018}

Arithmétique.

1b)
pour x²+y² : calculs totalement inutiles (et en plus il n'y a pas de cubes là dedans )

il y a des solutions et la seule façon de les trouver à ce niveau est par essais systématiques

une d'elle peut certes être trouvée facilement car 25 = 5² est déja un carré
mais ce n'est pas la seule
(résoudre veut dire trouver toutes les solutions)

Posté par
carpediemre : Arithmétique. 03-04-21 à 11:29

on peut remarquer que x^2 + y^2 = 725 \iff (x - 10)(x + 10) = (25 - y)(25 + y)  ... mais je ne vois pas comment m'en servir !!

par contre connaitre sa tables des carrés permet de trouver la solution évidente de mathafou (je pense qu'il a la même que moi) et qui m'est apparu tout de même avec la remarque précédente ... et qui m'a donc servi !!!

on peut remarquer que :

1/ x est multiple de 5 si et seulement si y est multiple de 5 ...

2/ si x et y ne sont pas multiples de 5 quelle est alors la seule issue possible ? (aide travailler modulo 5)

et ces deux cas servent pour résoudre le pb ... sans trop tâtonner mécaniquement !!

en dernier recours et tâtonnement total : un carré est positif et il n'y en a pas beaucoup d'inférieurs à 725 ...

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 03-04-21 à 11:53

Les solutions des systèmes du 02-04-21 à 21:41 sont :

\left(\dfrac{3-\sqrt{24213}}{6} ; \dfrac{-3-\sqrt{24213}}{6}\right) ;

\left(\dfrac{3+\sqrt{24213}}{6} ; \dfrac{-3+\sqrt{24213}}{6}\right) ;

\left(1-4\sqrt{21} ; -1-4\sqrt{21}\right) ;

\left(1+4\sqrt{21} ; -1+4\sqrt{21}\right)

Et n'appartiennent pas à IN² mais à IR².
Pourtant la courbe montre bien que quelque soit x de IR , on trouve une valeur correspondante y..

Ces systèmes auront servi à rien alors.

1-b)

Citation :
1/ x est multiple de 5 si et seulement si y est multiple de 5 ...

2/ si x et y ne sont pas multiples de 5 quelle est alors la seule issue possible ? (aide travailler modulo 5)


J'ai pas compris.

Les couples (14 ; 23) , (23 ; 14) , (-14 ; -23) et (-23 ; -14) sont solutions de x²+y²=725.

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 03-04-21 à 12:05

"la seule issue possible"
j'ai des doutes sur cette "seule" issue
on verra le développement qu'en fera matheux14, de cette histoire de modulo 5

Posté par
carpediemre : Arithmétique. 03-04-21 à 12:44

produire des solutions réelles est un travail totalement inutile quand on travaille dans Z

par exemple avec le système

x - y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 1009

(y + 2)^2 + (y + 2)y + y^2 = 1009 \iff 3y^2 + 6y = 1005 \iff y^2 + 2y = 335 \iff (y + 1)^2 = 336

or 336 = 3 * 112 n'est trivialement pas un carré dans N


mathafou : effectivement j'ai mal compté : il y a plus d'issues que ... une seule !!!

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 03-04-21 à 12:54


et il y en deux qui ne nécessitent même pas de calcul :
x^2+xy+y^2 =1 impose x = 0 \text{ et } y = 1 (nombres entiers !!!) ou l'inverse
et si x et y ≥ 1 alors x^2+xy+y^2 \ge 3 > 1

et la différence n'est pas 2018, donc le système

\begin{cases}x-y=2018\\ x^2+xy+y^2=1\end{cases}
n'a pas de solution, entières "sans calcul"
mais il est toutefois nécessaire de dire explicitement (de cette façon par exemple ) pourquoi.

\begin{cases}x-y=1009\\ x^2+xy+y^2=2\end{cases}
se traite de la même manière

seules les deux autres nécessitent une substitution et une équation du second degré
directement ou via l'astuce de carpediem, ça revient au même
mais on s'arrête à "pas un carré parfait" sans même chercher à calculer des valeurs dans !!

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 03-04-21 à 20:40

Bonsoir ,

S_{\N²}=\{(25,10);(10,25);(26,7);(7,26);(14,23);(23,14)\}

2) \sum ^{n}_{k=1}\cos(2k-1)x=\cos(1)x+\cos(3)x+\cos(5)x+ \dots+\cos(2n-1)x

Mais j'ai du mal à identifier cette suite.

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 03-04-21 à 21:31

OK
déja si (a; b ) est une solution , alors (b; a) aussi (évident, a²+b² =b²+a²)
on peut donc dans la recherche chercher les solutions a < b
et donc a²+ b² < 2b² et a <19 suffira

la remarque sur les multiples de 5 était que (5a)² + (5b)² = 25(a²+b²) et il est rapide de trouver 29 = a²+b² = 25 + 4 = 5² + 2² seule décomposition à l'ordre près de 29
et donc la solution "évidente" (5×5; 5×2) et donc aussi sa compère

quant au calcul modulo 5 il n'aboutit que à x \equiv \pm 1 \; [5] \Leftrightarrow y \equiv \pm 2 \; [5]
on se contente donc de tester les x égaux à un multiple de 5 ± 1
(c'est à dire la moitié des essais seulement)

pour trouver toutes les solutions sans balayage long, on peut partir de 5 = 2² + 1², 29 = 5² + 2² (décompositions uniques faciles à trouver)
et utiliser de façon répétée l'identité de Fibonacci/Brahmagupta :

(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac \pm bd)^2 + (ad \mp bc)^2 (attention aux signes !!)
qui permet de "combiner" les décompositions des différents facteurs premiers 5, 5 et 29
c'est à dire deux produits à effectuer et pour chacun deux calculs (\pm)
soit 4 calculs au lieu de 19 par les essais systématiques

l'énoncé ne parlant pas du tout de cette piste de l'identité de Brahmagupta, il n'est pas attendu de faire comme ça.


question 2

il ne faut pas de faire pièger par les conventions d'écriture de cos :
par convention pas de parenthèses \cos a et pas ce que cela veut vraiment dire : \cos(a)

\cos (2k-1)x veut donc dire \cos[(2k-1)x]

donc
S_n = \sum ^{n}_{k=1}\cos(2k-1)x=\cos x+\cos 3x+\cos 5x+ \dots+\cos(2n-1)x
S_1 = \cos x
S_2 = \cos x+\cos 3x
S_3 =\cos x+\cos 3x+\cos 5x
etc

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 03-04-21 à 22:15

Citation :
\cos (2k-1)x veut donc dire \cos[(2k-1)x]


Et si ce n'était pas le cas ?

Est-ce possible de vérifier que \sum ^{n}_{k=1}\cos(2k-1)x=\cos(nx)\dfrac{\sin(nx)}{\sin x} \\ sans faire de calculs ?

Soit P_{n}~:~<<\sum ^{n}_{k=1}\cos(2k-1)x=\cos(nx)\dfrac{\sin(nx)}{\sin x}>>

S_{1}=\cos x =\cos x \dfrac{\sin 1x}{\sin x}

Donc Pn vrai au rang 1.

Soit k de Z. Supposons Pk vrai.

S_{k+1}=\cos 3x+\cos 5x+\cos 7x+ \dots+\cos[(2k+1)x]

Sk+1 est géométrique ou arithmétique ?

Posté par
carpediemre : Arithmétique. 03-04-21 à 22:29

pour compléter l'excellent développement de mathafou :

tout le monde sait que 10^2 = 100
d'aucuns savent que 25^2 = 625 (puisque 2 \times 3 = 6 et je mets 25 au bout donc 25^2 = 625 ...

et 625 + 100 = 725

ce qui rejoint la solution évidente de mathafou qui utilise le fait que 25 est lui-même un carré et trivialement facteur de 725

725 étant impair on peut remarquer aussi que x et y n'ont pas même parité ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 03-04-21 à 22:40

ni l'un ni l'autre (ni géométrique ni arithmétique)

par récurrence, il s'agit d'utiliser S_{k+1} = {\red S_k} + \cos[(2k+1)x] = {\red \cos(kx)\dfrac{\sin(kx)}{\sin x}} + \cos[(2k+1)x] par l'hypothèse de récurrence

il s'agit donc de développer par des formules de trigo

\cos(kx)\dfrac{\sin(kx)}{\sin x} + \cos[(2k+1)x]

avec l'objectif d'arriver à \cos[(k+1)x]\dfrac{\sin[(k+1)x]}{\sin x}

ou inversement que \cos[(k+1)x]\dfrac{\sin[(k+1)x]}{\sin x} est bien égal à \cos(kx)\dfrac{\sin(kx)}{\sin x} + \cos[(2k+1)x]

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 14:52

Bonjour ,

Posons P=\cos(kx)\dfrac{\sin(kx)}{\sin x}+\cos[(2k+1)x]

P=\dfrac{\cos(kx) \sin(kx)+\sin x \cos[(2k+1)x]}{\sin x}

P=\dfrac{2\cos(kx) \sin(kx)+2\sin x \cos[(2k+1)x]}{2\sin x}

*Transformons A=2\cos(kx) \sin(kx)+2\sin x \cos[(2k+1)x].

On sait que \sin a +\sin b=2\sin \left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)

==> x=\dfrac{a+b}{2} et (2k+1)x=\dfrac{a-b}{2}

• Déterminons a et b à l'aide du système suivant :

\begin{cases} x=\dfrac{a+b}{2} \\ \\ \\ (2k+1)x=\dfrac{a-b}{2} \end{cases}


\begin{cases} a+b=2x \\ \\ \\ a-b=2(2k+1)x \end{cases}


\begin{cases} a=2x-b \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}


\begin{cases} a=2x-[a-2(2k+1)x] \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}

\begin{cases} a=2x-a+2(2k+1)x \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}


\begin{cases} a=2x-a+2(2k+1)x \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}

\begin{cases} 2a=2x+2(2k+1)x \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}

\begin{cases} a=x+(2k+1)x \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}

\begin{cases} a=2x(k+1) \\ \\ \\ b=a-2(2k+1)x \end{cases}

\begin{cases} a=2x(k+1) \\ \\ \\ b=2x(k+1)-2(2k+1)x=2kx+2x-4kx-2x=-2kx \end{cases}

\begin{cases} a=2x(k+1) \\ \\ \\ b=-2kx \end{cases}

Par conséquent 2\sin x \cos[(2k+1)x]=\sin[2x(k+1)]+\cos(-2kx)

=\sin[2x(k+1)]-\sin(2kx)

==> A=\sin(2kx)+\sin[2x(k+1)]-\sin(2kx)

==> A=\sin[2x(k+1)]

Du coup P=\dfrac{\sin [2x(k+1)]}{2\sin x}

P=\dfrac{2\sin [x(k+1)]\cos [x(k+1)]}{2\sin x}

P=\dfrac{\sin [x(k+1)]\cos [x(k+1)]}{\sin x}

P=\cos [(k+1)x]\dfrac{\sin [(k+1)x]}{\sin x}

Posté par
carpediemre : Arithmétique. 04-04-21 à 15:54

si a + b = truc et a - b = machin

alors a + b + a - b = 2a = truc + machin

et a + b - (a- b) = 2b = truc - machin

et le système est résolu en deux lignes ...

PS : guère envie de lire un truc qui s'étale en longueur et qui ne permet pas de voir la fin et le début en même temps (faut scroller et scroller et scroller ...)

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 16:13

Je sais..

Mais j'ai voulu faire assez clair..

Alors merci à vous.

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 04-04-21 à 17:18

calculs farfelus
il n'y a aucun système à chercher de résoudre pour noyer le poisson.

que du calcul direct.

deux formules trigo à connaitre :
sin (2a) = 2sin a cos a
OK, celle là tu l'as utilisée

et 2 sina cosb = sin(a-b) + sin(a+b)

que l'on peut certes (re) démontrer à partir des formules sensées être connues
de sin(a-b) et de sin(a+b)
sans aucun besoin de quelque "système d'équations" que ce soit
une simple addition suffit. de deux formules "de cours" :
sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
----------------------------------------------
sin(a-b) + sin(a+b) = 2sin(a)cos(b)
terminé

ensuite on applique directement ces formules en deux lignes.

au lieu de faire des entourloupettes en prétendant que cos (-2kx) = -sin(2kx) !!!
(entourloupette = calculs faux en noyant le poisson pour forcer un calcul faux à donner de force le résultat attendu)

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 17:36

Citation :
au lieu de faire des entourloupettes en prétendant que cos (-2kx) = -sin(2kx) !!!


C'est une erreur de frappe..

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 17:45

D'ailleurs j'avais écrit plus haut

On sait que \sin a +\sin b=2\sin \left(\dfrac{a+b}{2}\right) \cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)

Et sin (-X) = -sin X

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 04-04-21 à 18:00

ok pour l'erreur de frappe (à condition de de la corriger correctement ... ce qui n'est pas simple pour le lecteur dans un tel fatras)

\sin a +\sin b
certes mais cette formule là complique les choses pour transformer 2\sin x \cos[(2k+1)x]
qui est de la forme 2sin(A)cos(B)
ce n'est n'est pas une somme à transformer en produit à rebrousse poil via des systèmes d'équations pour calculer a et b à partir de A = x et B = (2k+1)x
c'est un produit à transformer en somme
et la bonne formule, la plus directe (sans systèmes d'équations) c'est celle que j'ai dite.
qui s'écrit directement en termes de A = x et B = (2k+1)x

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 18:25

D'accord , merci beaucoup.

Posté par
matheux14re : Arithmétique. 04-04-21 à 18:27

Citation :
ok pour l'erreur de frappe (à condition de de la corriger correctement ... ce qui n'est pas simple pour le lecteur dans un tel fatras)


Vous pouvez l'éditer

Posté par
mathafou Moderateurre : Arithmétique. 04-04-21 à 18:31

Vous pouvez l'éditer : Non.
c'est à toi de corriger tes fautes de frappes...


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