Niveau terminale

Arithmetique

Posté par
Amarouche1 27-04-21 à 11:26

Bonjour,
Montrer que :
1) $(a^2+b^2 ) \Lambda ( ab )=(a\Lambda b)^2$
2) $(a\Lambda b) = (a+b) \Lambda (a\vee b)$
3) $(a\wedge b) + (a\vee b) = a+b \Leftrightarrow (a/b ou b/a )$
Pour 1) :
J'ai essaye beaucoup avec les combinaisons lineaires je ne trouve que ca :
posons d= $a^2+b^2\wedge ab$
$d/a^2+b^2$
$d/ab$ et
alors $d/ab^2 +b^3$
et $d/a^2b$
alors $d/a^3$ et
$d/b^3$ alors
$d/ (a\wedge b)^3$

De meme mais sans resultat : $d'=a^2\wedge b^2$
$d'/a^2$ et
$d'/b^2$ alors
$d'/ a^2+b^2$ et
$d'/(ab)^2$ alors
$d'/ (a^2+b^2)\wedge (ab)^2$

Posté par re : Arithmetique 27-04-21 à 12:00

Bonjour,

1) En posant $d=PGCD(a,b)$

$a=da'$ et $b=db'$ avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux.

$PGCD(a^2+b^2,ab)=d^2PGCD(a'^2+b'^2,a'b')$

Reste à montrer que $a'^2+b'^2$ et $a'b'$ sont premiers entre eux sachant que $a'$ et $b'$ le sont.

Posté par re : Arithmetique 27-04-21 à 12:40

Ah oui merci beacoup l'astuce donc c'est de poser a=da' et b=db' en profitant de fait que PGCD(a',b')=1 apres on procedra par les combinaisons lineaires
pour 2) je pense c'est la meme chose ...

Posté par re : Arithmetique 27-04-21 à 14:39

Pour 2) on peut procéder de manière similaire, oui.

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