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Arithmétique

Posté par
Amar252
17-06-21 à 09:13

Bonjour je bloque sur cet exo d'arithmetique .j'arrive pas à demontrer la propriété de la deuxième question .  Merci de bien vouloir m'aider
Énoncé
a est un entier naturel. Montrez que a^5 - a est divisible par 10.
2. a et b sont des entiers naturels avec a  ≥b . Démontrez que si a^5 − b^5 est divisible par 10 alors a^2 - b^2 est divisible par 20.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:18

salut

tu peux nous montrer la question 1/ ?

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:22

es-tu sûr de cet énoncé ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:22

D'accord
1) a est un entier naturel. Montrez que a^5 - a est divisible par 10.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:38

certes !! mais qu'as-tu fait ou dit ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:49

Eh bien j'ai démontré par recurrence
Si a=0 la propriété est vrai
Si a=1 la propriété est vrai
Supposons qu'elle soit vrai pour tout n
Verifions qu'elle est vrai pour a+1
10/a^5 -a
a^5-a = a(a-1)(a+1)(a^2+1)
Ce qui implique 10/ a+1  implique aussi 10/ (a+1)^5
alors 10 divise toute combinaison lineaire u(a+1)^5 + v(a+1) avec u=1 et v=-1
10/ (a+1)^5 -(a+1)
Vrai  pour a+1
D'après la démonstration par recurrence 10/a^5 -a

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 09:58

non ça ne va pas !!

Amar252 @ 17-06-2021 à 09:49

10/a^5 -a
a^5-a = a(a-1)(a+1)(a^2+1)
Ce qui implique 10/ a+1  implique aussi 10/ (a+1)^5
tu peux très bien avoir 2 divise a et 5 divise a - 1 et alors 10 divise a^5 - a

pour le faire par récurrence il faut développer (a + 1)^5 - (a + 1) et y faire apparaitre a^5 - a pour utiliser l'hypothèse de récurrence ...

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:10

Donc on aura
(a+1)^5-(a+1) = a^5 -1 +5 a^4 +10 a^3 + 10a^2 + 4a +1
Mais je ne sais pas comment continuer dois je diviser par a^5 -a

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:16

ton développement est faux ...

(a + 1)^5 - (a + 1) = a^5 - a + truc

que vaut truc ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:28

(a+1)^5-(a+1) = a^5 -a +5a^4+10a^3 +10a^2 +5a

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:29

Truc vaut 5a^4+10a^3+10a^2 +5a

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:29

donc déjà tu peux factoriser truc par 5 ... que reste-t-il ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:30

a^4 +2a^3 + 2a^2 +a

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:30

en faut laisse de côté les termes avec les facteurs 10 et occupe-toi des deux autres ... en factorisant ...

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 10:32

Donc on aura 5(a^4 +a)

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 11:03

donc tu sais que :
a^5 - a est multiple de 10 (hypothèse de récurrence)
10a^3 + 10a^2 est évidemment multiple de 10

et il reste 5(a^4 + a) qui est évidemment multiple de 5
mais que manque-t-il ?

et pour conclure quelle est la propriété fondamentale de l'arithmétique ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 11:13

Alors là je suis vraiment perdue

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 11:22

mais alors que connais-tu en arithmétique ?

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 12:38

qu'est-ce qui te gène ?

Posté par
flight
re : Arithmétique 17-06-21 à 14:01

salut

peut etre es tu plus à l'aise avec des "n" que des "a "
comme le dit Carpediem que je salue  :

Citation :
pour le faire par récurrence il faut développer (a + 1)^5 - (a + 1) et y faire apparaitre a^5 - a pour utiliser l'hypothèse de récurrence .


(n-1)5-(n+1)  = n5+5n4+10n3+10n²+4n

il y a ce que j'ai mi en gras pour que tu transforme ca pour faire apparaitre l'hypothèse de reccurence (n5-n = 10k)
pour les termes suivants tu a du facteur 10 ...a toi

modération edit : balise gras en double supprimée

Posté par
flight
re : Arithmétique 17-06-21 à 14:01

lire  (n+1)5- (n+1)  à gauche de l'égalité

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 17-06-21 à 15:37

Bonjour,
Je me permets d'intervenir en l'absence de carpediem qui reprendra la main dès qu'il reviendra.
J'essaye de clarifier l'hérédité :
On suppose que pour un a de on a \;
a5 - a = 10b \; où b est un entier.
On a alors
(a+1)5 - (a+1) = 10(b + a3 + a2) + 5a4 + 5a
On veut démontrer que cette somme est un multiple de 10.
Pour y arriver, il suffit de démontrer que \; 5a4 + 5a \; est un multiple de 10.

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 18:34

Salut sylvieg et flight
Sylvieg puis je demontrer que 5(a^4 +a ) est multiple de 10 par recurrence

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 18:35

Carpediem cette leçon est nouvelle pour moi j'essaie de la comprendre à travers ces exos

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 17-06-21 à 19:37

Bonjour,

pour ce genre de questions il y a plusieurs méthodes, au choix
1) par récurrence, pourquoi pas... tu as l'entrainement

2) par séparation de cas (de là où on en est) :
si a est pair, alors ...
sinon, il est impair et alors ...
(réponse immédiate vu qu'ici il n'y a que deux cas : a est forcément soit pair soit impair)

3) par factorisation
je m'étonne d'ailleurs que cela n'ait pas été proposé par carpediem, (dès le départ pour a^5-a !) vu que c'est d'habitude sa méthode préférée
la plus élégante, mais il faut bien voir les bonnes factorisations

4) par utilisation de congruences (si on a vu ça)

liste non limitative : j'en ai peut être oublié)

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 17-06-21 à 19:50

mathafou : j'ai voulu poursuivre et insister avec la méthode proposée par Amar252 avant de voir autre chose ... d'autant plus vu ses difficultés avec la récurrence

Amar252 : Sylvieg a complété/détaillé mon post de 11h03

Amar252 @ 17-06-2021 à 18:35

Carpediem cette leçon est nouvelle pour moi j'essaie de la comprendre à travers ces exos
c'est très bien et avec ces deux posts tu as tout pour conclure en répondant à ma dernière question de 11h03 ... dont la réponse est dans tout premier cours d'arithmétique ...

Posté par
flight
re : Arithmétique 17-06-21 à 20:38

salut

...et meme avec des congruences en faisant une table des restes de a modulo 10

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 17-06-21 à 20:44

je répondais à :

Citation :
puis je demontrer que 5(a^4 +a ) est multiple de 10 par recurrence

pour dire que oui , pourquoi pas (une récurrence dans la récurrence ...)
mais que ce n'était pas la seule méthode possible
pour ce morceau de l'hérédité de la récurrence "principale".

je te laisse poursuivre bien sûr (on n'a pas dévié de cette récurrence "principale" là)

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 17-06-21 à 22:34

Merci de votre aide à  tous  j'ai pu résoudre l'exercice  . A la prochaine

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 18-06-21 à 08:47

dommage de ne pas nous montrer ... d'autant plus quand on voit tes difficultés sur un résultat élémentaire pour finir la récurrence ...

et je serai curieux de voir la question 2/ ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 18-06-21 à 09:21

Moi aussi

Posté par
lake
re : Arithmétique 18-06-21 à 11:25

Bonjour,

  

Citation :
et je serai curieux de voir la question 2/ ...


C'est une question destinée à Amar252 ou à la cantonade ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 18-06-21 à 11:46

Bonjour lake
J'ai compris que c'était adressé à Amar252, comme le 17 à 9h18.

Posté par
lake
re : Arithmétique 18-06-21 à 11:50

Bonjour Sylvieg
Tu as probablement raison.
Merci

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 19-06-21 à 20:35

Bonsoir
Pour la première question voilà je raisonne par une double recurrence

Pour a=0 la propriété est vrai
Supposons qu'elle soit vrai pour tout a
Montrons qu'elle est vrai pour a+1
(a+1)^5 -(a+1) = a^5 -a + 5(a^4+a) +10a^3 +10a^2
La propriété  est vrai si et seulement si (a^4 +a) est un multiple de 2

Montrons le par recurrence

Vrai au rang 0
Supposons  qu'elle soit vrai pour tout a

(a+1)^4 +(a+1) = a^4 +a +4a^3 +6a^2 +4a +2
Vrai
Donc par recurrence a^4 +a est  multiple de 2 on en deduit que 5(a^4 +a) multiple  de 10
Donc par recurrence a^5 -a est divisible par 10

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 19-06-21 à 21:20

Je pense que l'énoncé est mal formulée pour  la deuxième question .
Après avoir verifié avec des entiers quelconques la propriété n'est pas vérifiée

Posté par
lake
re : Arithmétique 19-06-21 à 21:44

Bonsoir,

  

Citation :
Après avoir vérifié avec des entiers quelconques la propriété n'est pas vérifiée


Oh que si !

Peux-tu donner un contre exemple ?

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 19-06-21 à 22:06

Puisqu'ils ont dit a\geqb
Donc je pense que c'est vrai pour a=b par contre pour a> b je ne trouve pas d'exemples

Posté par
lake
re : Arithmétique 19-06-21 à 22:22

Je ne comprends pas :

Non seulement tu ne trouves pas de contre exemples (ce qui est normal) mais tu ne trouves pas d'exemples pour a >b strictement.

Comment peux-tu alors affirmer :
  
  

Citation :
Après avoir vérifié avec des entiers quelconques la propriété n'est pas vérifiée
?




Un (tout petit) cadeau :

Avec a=12 et b=2 :

   a^5-b^5=248800 est divisible par 10

et a^2-b^2=140 est bien divisible par 20

Évidemment, ça ne prouve rien du tout.

Mais j'aimerais bien que tu répondes à la question au dessus :

  
Citation :
Comment peux-tu alors affirmer :
  
  
Citation :
Après avoir vérifié avec des entiers quelconques la propriété n'est pas vérifiée
?

  

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 19-06-21 à 22:34

En faite  j'ai choisi au hasard des entiers   respectant a>b puis j'ai vérifié la propriété avec et c'est maintenant que je me rend compte de ma betise

Posté par
lake
re : Arithmétique 19-06-21 à 22:48

Je vais quitter.

1) Je ne me suis pas du tout occupé de ta récurrence pour la question 1).

2) Concernant la question 2), on peut déduire de  1) que :

   a^5-b^5\equiv a-b\;\;[10]

  et en tirer une conséquence pour a-b.

Il est ensuite utile de s'intéresser aux parités de a et b :

    - Parités différentes ? Est-ce possible vu l'hypothèse  a^5-b^5 divisible par 10 ?

    - Même parité. Alors a+b est pair. Et encore une fois en tirer une conséquence quant à a^2-b^2=(a-b)(a+b).

Bonne nuit

Posté par
Amar252
re : Arithmétique 19-06-21 à 23:54

Merci et bonne nuit

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 20-06-21 à 09:15

post de 20h35 : que c'est bien compliqué : mathafou donnait déjà l'idée (point 2/ à 19h37) que je voulais donner :

on veut montrer que a^4 + a est pair

depuis la seconde on (re)commence à montrer ce que donne :
- la somme de deux entiers pairs/impairs
- le produit de deux entiers pairs/impairs

on en déduit donc le résultat sur les puissance d'un même entier ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 20-06-21 à 11:00

@Amar252,
Il faut que tu apprennes à rédiger l'hérédité de la récurrence sans écrire ceci :

Citation :
Supposons qu'elle soit vrai pour tout a
Tu le fais à chaque fois.
Si tu supposes la conclusion, tu ne démontres rien !
Le "pour tout" est à proscrire dans le début de l'hérédité.
Voir Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés



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