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Arithmétique

Posté par
Silaty
22-11-21 à 17:50

Salut les matheux, j'ai besoin de votre aide sur l'exercice là.
Exercice : Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, on a: 1+ 2n +3n +4n +5n +6n +7n est divisible par 28. Je vous remercie d'avance.

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 22-11-21 à 17:58

salut

regarde ce qui se passe modulo 4 et modulo 7 ...

Posté par
philgr22
re : Arithmétique 22-11-21 à 17:59

Bonsoir ,
As tu vu les congruences?

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Arithmétique 22-11-21 à 19:20

Bonsoir philgr22,

Citation :
As tu vu les congruences?

probablement si on se fie au profil de Silaty...

Posté par
philgr22
re : Arithmétique 22-11-21 à 19:24

Bonsoir tilk11
Je ne regarde pas obligatoirement les profils...

Posté par
Silaty
re : Arithmétique 23-11-21 à 17:40

carpediem bonsoir j'ai essayé avec les congruences modulo 4 et modulo 7, mais je me bloque à un certain niveau

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 23-11-21 à 19:00

montre ...

Posté par
jandri Correcteur
re : Arithmétique 25-11-21 à 22:03

Bonjour,

on peut déjà vérifier que c'est faux pour n=6.

Posté par
Silaty
re : Arithmétique 26-11-21 à 10:06

jandri tu as raison, n=6 ne vérifie pas

Posté par
ty59847
re : Arithmétique 26-11-21 à 10:16

n=12 non plus.
n= 18, 24, 30 ???

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-11-21 à 11:50

Bonjour,
Oui, avec le petit théorème de Fermat,
pour a de 1 à 6, on a a6 1 [7].
Donc, 1+ 26k +36k +46k +56k +66k +76k 6 [7].

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 26-11-21 à 19:11

de toute façon on a :

m = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n \equiv 1^n + (-1)^n + 2^n + (-2)^n + 3^n + (-3)^n  [7]

si n est impair alors m \equiv 0  [7]

si n est pair alors m \equiv 2(1 + 2^n + 3^n)  [7]

or 2^3 = 8 = 7 + 1 et 3^3 = 27 = 28 - 1

donc si n = 3k alors m \equiv 2  [7] dès que k est impair

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique 26-11-21 à 21:52

Une coquille sans doute dans ton message, carpediem.
Car contradiction entre
si n est impair alors m \equiv 0  [7]
et
si n = 3k alors m \equiv 2  [7] dès que k est impair

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 27-11-21 à 08:44

oui je me suis mélangé les deux formules ...

c'est plutôt :

si n est pair alors m= 2(1 +2^n + 3^n)  [7]

et ​si de plus n est multiple de 3 alors m \equiv 2(1 + 1^k + (-1)^k) \not \equiv 0  [7] pour un certain entier k

je voulais montrer qu'on arrive au résultat du théorème de Fermat sans même le connaitre par ajustement des puissances au fur et à mesure qu'on avance dans le raisonnement



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