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Arithmetique
Posté par Smerfeur
Bonjour j ai besoin d' aide pour cette exercice : (un) définie sur N par u0=2 et pour tout n € N un+1=8un+1. On admet que pour tout entier naturel n un est un entier naturel .
a) qu'elle conjecture peut on remettre concernant le chiffre des unités de un pour n>=1
b) valider cette conjecture a l aide d une démonstration
a) Pour la question a j'ai testé u1 u2,u3 je trouve respectivement 17, 137, 1097 . Donc on peux conjecturer que le chiffre des unités de un est 7.
b)On peut conjecturer que le chiffre de unites de un est 7 autrement dit un ≡ 7(10) .
Pour cela j' ai trouve l expression de (un) (un) = 15/7 * 8n -1/7 et j' ai tenté une démonstration par recurrence mais je bloque pour la récurrence.
Merci
Bonjour,
Une récurrence oui mais :
- la propriété : pour tout ,
- utiliser la relation de récurrence
Bonjour
dans ce genre d'histoires il vaut mieux éviter d'écrire des fractions.
Un nombre dont le chiffre des unités est 7 s'écrit sous la forme u=10k+7.
Utilise cette forme pour faire la récurrence.
Ok merci beaucoup je crois que j'ai trouvé voilà ce que j'ai fais pour l heredite.
Supposons que PN est vraie et montrons que PN+1 est vraie c est à dire que Un+1 = 10k+7
D'après l'hypothèse de récurrence uN=10k+7
8uN=8(10k+7) autrement dit 10(8k+5)+6
8uN=10(8k+5)+7
Soit uN+1=10k'+7
Cqfd
OK.
Un seul problème. Tu as supposé que , alors tu cherches
pour
(ce que tu as trouvé.
Le plus élégant serait de supposer et de montrer l'existence de
Bonjour,
@Smerfeur,
Ce qui me dérange dans ta démonstration, ce n'est pas la non utilisation de kn, mais le fait que la même lettre k apparaît dans les deux égalités suivantes (en gras) :
Citation :
montrons que PN+1 est vraie c est à dire que Un+1 = 10k+7
D'après l'hypothèse de récurrence uN=10k+7
On a l'impression que tu vas démontrer que un+1 = un
montrons que PN+1 est vraie c est à dire que Un+1 = 10k+7
D'après l'hypothèse de récurrence uN=10k+7
Et ensuite, tu passes de k à k' sans détailler :
Citation :
8uN=10(8k+5)+7
Soit uN+1=10k'+7
8uN=10(8k+5)+7
Soit uN+1=10k'+7
Déjà, il faut commencer par définir clairement Pn.
Par exemple : Il existe k entier tel que un = 10k+7.
Dsl pour la rédaction , si j'ai bien compris à la place PN+1je mets quelque chose comme ça : Supposons que PN est vraie et montrons que PN+1 est vraie c est à dire que Un+1 = 10k'+7.
Et pour la fin 8uN=10(8k+5)+7
Or 8k+5 est un entier k'
Soit uN+1=10k'+7 .
Oui, c'est mieux 
Je complète :
Citation :
c est à dire qu'il existe k' entier tel que Un+1 = 10k'+7.
c est à dire qu'il existe k' entier tel que Un+1 = 10k'+7.
Pour la fin, il y avait une coquille dans le message d'hier :
Citation :
8uN=10(8k+5)+7
Il manque un "+1" derrière 8uN.
8uN=10(8k+5)+7
Et tu l'as reproduite avec
Citation :
Et pour la fin 8uN=10(8k+5)+7
Or 8k+5 est un entier k'
Et pour la fin 8uN=10(8k+5)+7
Or 8k+5 est un entier k'
Il me semble qu'il serait plus clair de terminer par
Donc un+1 = 10k'+7 avec k' = 8k+5.