Je pense que tu as mal recopié l'énoncé.

N=2,03.10²³  : ok pourquoi pas.
2 multiplié par N , ça me conviendrait
2 élevé à la puissance N , ça me surprend beaucoup.

On peut faire un calcul approximatif,  on peut commencer en disant 2¹⁰ = 1024, très proche de 1000, et utiliser cette approximation pour faire un calcul 'simple'.
Mais je ne pense pas que ce soit la réponse attendue.

Vérifie si l'énoncé dit 2 élevé à la puissance N, ou 2 multiplié par N.

Non c'est bien écrit "2^N avec N = 2,03 * 10²³ "

Pour rajouter le contexte:
On a deux urnes A et B connecter l'une à l'autre avec une espèce de porte qu'on peut ouvrir et fermer. A l etat initiale toutes nos particules (D'un gaz) sont dans l'urne A.  On appelle tirage le fait qu'une particule passe de l'urne A à l'urne B. Et on a une variable aléatoire T associée au "rang du premier tirage permettant de revenir à l'état initial". L'énoncé nous fait admettre que E(T) = 2^N (Espérance) avec N le nombre total de particules.
Considérons une mol de diazote (2,03*10²³ particules)  et qu'un échange de particule prend une nanoseconde, quel temps moyen mettra le système pour revenir à son état initial ?

Voilà

salut

N est approximativement le nombre d'Avogadro ...

je procéderai comme ty59847 ...

Oui mais bon, là ils l'ont adapté pour les besoin de l'exercice.
Je sais aussi que N = 6,022 * 10²³

mais on peut faire un peu mieux (enfin une autre approximation)  si on sait que pour h proche de 0 et en écrivant que

Bonjour,
Je ne vois pas ce que vient faire une division euclidienne dans cette histoire.

oui j'y ai pensé dès le début mais sans intervenir dans un premier temps ... et j'ai oublié ensuite de le dire ...

vu que 2^N n'est pas entier cet exercice est étonnant ...

Calculons log₁₀(2^N/10⁹)

log₁₀(2^N/10⁹) = N log₁₀(2) - 9 log₁₀(10)
= N log₁₀(2)-9
=2.03 10²³ log₁₀(2)-9

On pourrait être tenté d'arrondir ça à 2.03 10²³ log₁₀(2), mais ça serait malvenu.
Ce très grand nombre, c'est le nombre de chiffres nécessaires pour écrire ton nombre.