co11 @ 22-07-2022 à 20:29
J'ai aussi tendance à privilégier ce raisonnement, d'autant plus que ta solution est rapide et élégante.
Encore faut-il y penser.
Un prof qui y a passé pas mal d'années d'accord, mais un élève ? Comment, en peu de temps, fera -t-il le tri entre un résultat élémentaire, utilisable la plupart du temps, et une formule qui en est déduite et risque fort d'être vite oubliée ?
c'est un peu contradictoire ... avant d'avoir toutes ces formules des propriétés du pgcd il n'y a essentiellement que la propriété que je rappelle et quelques propriétés de divisibilité comme
si a divise b et b divise c alors a divise c qui est importante pour le g de pgcd ...
mais un élève ne fait pas le tri : il oublie ce qui précède et un exemple concret est le discriminant qui efface toutes les règles de factorisation élémentaire et on voit des élèves utiliser le discriminant pour des équations du type a^2 - b^2 = 0 ou pire du type ax^2 + bx = 0 ...
quelle tristesse ...
et la meilleure façon de ne pas oublier c'est de revenir aux fondamentaux avant de sortir l'artillerie lourde !!!
flight ne propose qu'un nouvel emballage pour ne faire que ce que je dis avec des égalités "formulatoires" ... qui ne deviendront élémentaires uniquement quand les fondamentaux sont acquis !!
écrire que pgcd (a, b) = pgcd (a - b, b) c'est dire de façon (certes synthétique) que si d divise a et b alors il divise a - b (combinaison linéaire de a et b) et b
et ce qui est vrai
pour tout diviseur est vrai pour le pgcd ...
et quand je disais que c'est un peu contradictoire c'est dans le fait que pour ne pas apprendre une formule vite oubliée il suffit de ne pas avoir à l'apprendre !!
parce qu'on possède justement ce qu'il suffit de savoir pour ne pas en savoir plus !!!
bien évidemment au fur et à mesure de l'apprentissage il est évidemment nécessaire de maîtriser et savoir plus de choses !!!
dans cet exercice l'essentiel (et c'est très riche de savoir tirer la substantifique moëlle d'un exercice) n'est pas les propriétés des p
gcd mais la propriétés des
diviseurs ...