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Niveau Maths sup
Arithmétique
Posté par NapoleonDuRoy
Bonjour,
Je vous écris au sujet d'un exo d'arithmétique :
Voici l'énoncé :"Soit n entier supérieur ou égal à 2, montrer que n est premier ssi il divise tous les k parmi n avec k dans [1,n-1]."
Pour le coup j'ai très très peu d'idée...
J'ai essayé sur plusieurs cas simples (n=2, n=3, n=6) : pour n=6 on a bien une absurdité : 6 ne divise pas 20 en l'occurrence.
Je comprends la propriété sur des cas simples mais je n'arrive pas à la généraliser. Auriez-vous des indices sur le raisonnement à employer ?
En vous remerciant
Bonsoir
Pour commencer, on peut montrer que si n est premier, alors n divise (n parmi k) pour tout k
Tu peux appliquer le théorème de Gauss en exhibant bien les trois quantités impliquées pour obtenir le résultat
J'ai réussi l'implication : j'ai dit que :
Sachant (k parmi n) entier on sait que k!(n-k)!/n! ou plus simplement k!(n-k)!/n(n-1)! et par Gauss comme n premier alors CQFD.
Mais pour la réciproque je bloque... Un indice ?
Je crois avoir griffonné un brouillon qui conclut le résultat demandé 
je te suggère de démontrer la contraposée de la réciproque en regardant ce qui se passe pour les premiers n composés
(Quels semblent être les (n parmi k) qui ne sont pas des multiples de n ?)
Tu es sûr de ce sue tu as écrit pour l'implication ? Je n'ai pas trop regardé mais c'est différent de ce que j'ai fait hier soir
Pour Gauss je déclare d'abord que n divise n(n-1)...(n-k+1) (qui se trouve être égal à (n parmi k)*k!)
De plus n et k! Sont premiers entre eux puisque n est premier
Donc je conclus que n divise (n parmi k)
Pour rédiger plus rapidement, éventuellement utiliser cette belle propriété du coefficient binomial:
Zormuche : J'ai suivi votre conseil pour n=4, n=6 et n=8 :
Ce qui semble apparaitre est que les k parmi n non multiples de n sont ceux où k est pair. Comment s'en servir pour montrer la contraposée là je bloque
Zormuche t'amènes au résultat, mais je te donne un indice avec cette formule des pions. Parce que je trouve que c'est un moyen facile de mémoriser.
pour
, c'est plutôt 
avec thm de Gauss. Ça tu l'as trouvé
pour
pour
Zormuche : un nombre composé a plus de diviseurs qu'un composé : des diviseurs autres que 1 et lui-même
fabo34 : la réponse à votre question est non dans la mesure où k est un facteur premier de n.
Je n'ai cependant pas réussi à conclure
Merci de vos réponses !
Oui, en particulier un nombre composé a des diviseurs différents de 1 et lui-même.
Citation :
Ce qui semble apparaitre est que les k parmi n non multiples de n sont ceux où k est pair.
Ce n'est pas la bonne observation : (3 parmi 6) ne divise pas 6. La bonne observation, c'est que les (k parmi n) que n ne divise pas sont ceux où k est un diviseur de n
Ce qui semble apparaitre est que les k parmi n non multiples de n sont ceux où k est pair.
ça tombe bien, on part d'un n composé, donc exhibons un de ses diviseurs différent de 1 et de n
@NapoleonDuRoy. Si k est un facteur premier de n, k peut-il diviser les nombres compris entre n et n-k? Exemple, 15=5*3. 3 peut-il diviser 14 et 13? 5 peut-il diviser 14,13,12,11 ?