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arithmetique congruence

Posté par
aya4545 09-04-22 à 14:32

bonjour
priere m aider à surmonter cet handicap
j ai à resoudre l equation x²+3x+5 \equiv 0   (25)  (E)



       2 * 13=26=1 (25) donc l inverse de 2 modulo 25 est donc 13
E\iff x²+2\times 13\times 3x+5 \equiv 0 (25) \iff (x+14)² \equiv 16\equiv 4^2 (25)
c est la ou je coince je sais resoudre  x² \equiv a (p) avec p premier je sais encore resoudre x²\equiv 0 (m) avec m quelconque mais je ne sais pas resoudre x²\equiv a (m) avec m quelconque  a   \neq  0  (m) et merci

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 15:24

Bonjour

Ici tu veux résoudre x^2\equiv u^2\pmod{p^2} avec p premier. On a donc x^2-u^2=kp^2 avec k entier. Comme x^2-u^2=(x+u)(x-u),on sait que p divise x+u ou x-u. Il y a plusieurs cas possibles.
1) p^2 divise x+u
2) p^2 ne divise pas x+u et dans ce cas il y a deux possibilités selon que p divise ou pas x+u.

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 09-04-22 à 15:34

merci Camélia
je suis perdue  si vous pouvez m expliquer ca dans des exemples  ca serait mieux et merci

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 15:51

Dans ton exo. On travaille modulo 25.
(x+14)^2-4^2= (x+16)(x-12).
On suppose que 25 divise ce produit, qui est donc divisible par 5.
Plusieurs possibilités:
25 divise x+16
25 ne divise pas x+16 ; alors ou bien 25 divise x-12
ou bien x+16 et x-12 sont chacun divisibles par 5.
Dans chaque cas tu peux trouver des solutions de l'équation.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 15:56

Bonjour à toutes les deux,
J'ai un doute pour le dernier cas
Et il me semble qu'il y a une coquille dans (x+14)^2-4^2= (x+16)(x-12).

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:11

Bonjour Sylvieg

Oui, bien sur, coquille (merci)
(x+14)^2-4^2=(x+16)(x{{\red +}}12).
En revanche je maintiens le dernier cas.
Ou bien on utilise Gauss et on dit que si l'un des facteurs est divisible par 5 mais pas par 25, l'autre est divisible par 5. L'autre possibilité, peut-être meilleure pour aya4545, c'est de trouver d'abord tous les diviseurs de 0 dans \Z/25\Z

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:31

salut
25|(x+14)^2-4^2= (x+10)(x+18). donc

soit 25|x+10    ou    25\nmid  x+10

si  25|x+10    \implies  x\equiv 15 (25)
si 25\nmid  x+10 donc
25|x+18     ou   (5|x+10   et     5|x+18)

25|x+18 \implies x\equiv 7 (25)

5|x+10   et  5|x+18\implies x\equiv 0  (5)    et    x\equiv 2  (5)   impossible

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:33

C'est bien l'idée, mais ta factorisation est fausse! (comme l'était la mienne). Regarde, entre temps j'ai mis la bonne (j'espère).

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:38

salut

il y a trois cas à priori non exclusifs :

25 divise x + 12
25 divise x + 16
5 divise x + 12 et x + 16

mais ce troisième cas implique alors que 5 divise x + 16 - (x + 12) = 4

donc il ne reste que les deux premiers cas exclusivement ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:50

Oui, mon doute partait sur

Citation :
Dans chaque cas tu peux trouver des solutions de l'équation.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:50

portait

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 16:53

Mais l'ensemble vide est un ensemble comme les autres!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 09-04-22 à 17:00

La phrase que j'ai citée ne parle pas d'ensemble à trouver
Mais j'arrête de chipoter et vous laisse continuer à aider aya4545.

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 09-04-22 à 17:01

et pour la factorisation je préfère (modulo 25)

x^2 + 3x + 5 = x^2 - 22x + 5 = (x - 11)^2 + 9 = (x - 7)(x - 15)

bien plus simple que de s'enquiquiner à chercher l'inverse de 2 et nous donne tout de suite même le facteur 2 du double produit) et qui a le double avantage :

avoir des signes - qui permet d'avoir directement le principe : x - a = truc <=> x = a + truc (sans signe moins ... même si avec un modulo on peut s'en passer)

mais surtout le terme 15 est intéressant puisque multiple de 5 ...

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 09-04-22 à 17:28

merci infiniment carpediem ;Sylvieg  ;Camélia
je pense que ma factorisation est aussi correcte  Camélia en effet
(x+18)(x+10)=x²+28x+180=x²+3x+5
donc il ya trois cas  à distinguer
(*)25 divise x + 12 donc S_1=\lbrace\overline{15}\rbrace
(*) 25 divise x + 16 donc S_2=\lbrace\overline{7}\rbrace
(*) 5 divise x + 12 et x + 16 donc S_3=\emptyset
donc S=\lbrace\overline{15};\overline{7}\rbrace modulo 25

Posté par
phyelec78re : arithmetique congruence 09-04-22 à 22:56

bonjour,

en repartant de votre premier poste :

x^2 + 3x + 5 \equiv x^2+ 2\times13\times3 x + 5  \equiv x² +2\times(25+14)x + 5  \equiv x^2 + 2\times14  x + 5\equiv 0
ou encore (x+14)^2  \equiv 196 - 5  \equiv  191 \equiv 7\times25+16  \equiv 16 (mod 25)
Les solutions sont alors x + 14  \equiv  ± 4 (mod 25) soit x = 7 et 15 mod 25

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 10-04-22 à 01:37

bonsoir merci pour vos orientations

je sais que x²\equiv a² (p)  p  premier  \iff    x = \pm a   (p)
mais si  (p=q²) est ce que  l equivalence reste vrais  et merci

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 10-04-22 à 08:44

on t'a pourtant répondu dans ce cas particulier !!!

tout d'abord comme dans R on mets touts dans un membre et on factorise

donc quel que soit n : x^2 \equiv a^2  [n] \iff (x - a)(x + a) \equiv 0  [n]

ensuite uv \equiv 0  [p^2] \iff u \equiv 0  [p^2] $ ou $ v \equiv 0 [p^2] $ ou $ u \equiv 0  [p] $ {\red et }$ v \equiv p  [p]

plus généralement  uv \equiv 0  [n] \iff \cup_{ab = n} (u \equiv 0  [a] $ et $ v \equiv 0  [b])

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 10-04-22 à 08:54

C'est faux :
Avec q premier, on peut avoir x2 0 [q2] sans que x 0 [q2] soit vrai :
q2 0 [q2] mais q 0 [q2] est faux.

Par contre, il me semble que c'est vrai si l'entier a n'est pas divisible par q.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruence 10-04-22 à 08:55

Bonjour carpediem
Je n'avais pas vu ta réponse.

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 10-04-22 à 09:12

salut Sylvieg : pas grave ... car tu donnes une autre réponse encore plus directe avec le contre-exemple x = q !!



d'ailleurs plus généralement et quel que soit l'entier n, une solution de l'équation x^2 \equiv 0  [n^2] est n

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 10-04-22 à 09:13

et même kn est aussi solution ...

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 10-04-22 à 12:19

bonjour
mercicarpediem;Sylvieg;phyelec78 etCamélia
je revient  a ce resultat cité   par carpediem à 8h 44
uv \equiv 0  [n] \iff \cup_{ab = n} (u \equiv 0  [a] $ et $ v \equiv 0  [b])
dans un exemple
uv\equiv 0 (6)  \iff  6|u  ou 6 \nmid u \iff   (6|u )  ou   (6|v )  ou  (2|u et 3|v) ou (2|v et 3|u)

(6|u )  ou   (6|v )   \implies  (2|u    et   3|v)   ou  (2|v   et   3|u)  
donc
6|u  ou   6 \nmid u \iff     (2|u   et   3|v)   ou   (2|v   et    3|u)   \\ \iff           (u \equiv 0  [2]  et  v \equiv 0  [3])   ou    (u  \equiv  0  [3]  et  v \equiv  0  [2])   priere m avertir s il ya une erreur dans mon raisonnement et merci

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 10-04-22 à 13:02

quand on écrit  6 divise a on ne préjuge de rien sur ce qui se passe pour v !!! (exemple prendre n = 12 plutôt que 6)

uv = 6 <=> 6 | u ou 6 | v ou (2 | u et 3 | v) ou (3 | u et 2 | v)

epictou !!!

remarquer que si 6 | u alors 2 | u

mais si 2 | u et non (6 | u) alors il est nécessaire que 3 | v

et réciproquement ...

d'où la conjonction et ...

Posté par
aya4545re : arithmetique congruence 10-04-22 à 16:28

merci carpediem

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 10-04-22 à 16:43

de rien

Posté par
fabo34re : arithmetique congruence 23-10-22 à 15:36

Bonjour à tous.

Une question suite aux remarques de carpediem sur le 3ème "OU" lorsque p est composé dans uv \equiv 0[p]

Auriez-vous un exemple d'équation où la "troisième condition" donne de nouvelles solutions par rapport aux u \equiv 0[p] ou v \equiv 0[p] ?

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 23-10-22 à 18:19

Camélia @ 09-04-2022 à 15:51

(x+14)^2-4^2= (x+16)(x-12).
dans cette équation essaie autre chose que 4 ...

Posté par
fabo34re : arithmetique congruence 23-10-22 à 19:37

Déjà je ne comprends la factorisation. n'est-ce pas plutôt plutôt

(x+14)^2- 4^2 \equiv (x+10)(x+18) \equiv (x-15)(x-7) [25] ?

Sinon, avec d'autres valeurs que 4, pas de (k,p) qui donnerait "5 divise x+k" ET "5 divise x+p'". Je ne vois pas. Aurais-tu une valeur?

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 23-10-22 à 19:43

en fait vu qu'une équation du second degré admet au plus deux solutions il doit toujours y avoir un cas n'admettant pas de solution ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
Camélia Correcteurre : arithmetique congruence 24-10-22 à 16:40

Bonjour

Je ne me rappelle pas toute l'histoire. mais une équation du second degré modulo p^2 peut très bien avoir plus de deux racines!

Ne serait-ce que x^2=0 qui a les racines 0, p, -p, ce qui fait trois!

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 24-10-22 à 18:17

merci Camélia

alors ici fabo34 essaie de trouver des entiers a et b tels que l'équation (x - a)(x - b) \equiv 0  [25] admette trois solutions ...

Posté par
fabo34re : arithmetique congruence 24-10-22 à 20:30

@carpediem : [25] voire un autre [p], peut-être plus "composé" que p²?  Ou faut-il augmenter le degré de l'équation ?

Posté par
carpediemre : arithmetique congruence 24-10-22 à 20:33

non ça devrait le faire ... et le but est de garder une équation du second degré !!

quant à changer 5 en 7 par exemple je ne pense pas ... même si ...


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