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arithmetique congruences

Posté par
aya4545 19-04-22 à 23:52

bonjour
priere m aider à surmonter ce blocage
l enoncé  de l exercice est  le suivant :
p premier tel que p\equiv 5(6)
on considere l equation (E) x^3+y^3=p(x\wedge y )(1+ppmc(x;y))
soit (x,y) une solution de (E) tel que x=da et y=db
1) a) justifier que pgcd (a,b)=1   et   ppmc (x,y)=dab    et d²(a^3+b^3)=p(1+dab)

b)montrer que  pgccd(d²,1+dab)=1
c)deduire que d=1
2) montrer que p est premier avec a et b
3)montrer que a^3\equiv -b^3 (p) et que  a^{p-1} \equiv b^{p-1}    (p)
4) en deduire que a\equiv -b       (p)
5)on pose    avec  u entier naturel non nul  montrer que
u(a-b)²+(u-1)ab=1 en deduire que u(a-b)²=1
6)mq     a+b=p et |a-b| =1     et deduire les solutions de (E)


ce que j ai fait 1) a) c est simple
1) b)  montrer d abord que  pgccd(d,1+dab)=1 en remarquant que (1+dab )-dab =1
c)simple
  2)d=p\wedge a \implies    d|a    et    d|p  \implies    d|p(1+ab) et par suited|a^3+b^3 \implies d| b^3 or d|b^3
donc d|a^3\wedge b^3=1
3)utiliser Fermat pour la seconde egalitée
4) a remarquer a^3+b^3 =(a+b)(a²-ab=b²) montrer ensuite que p premier avec  a²-ab=b² et utiliser   Gauss
je bloque dans 5)

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 19-04-22 à 23:58

et merci

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 00:29

je m excuse
4) a remarquer     a^3+b^3 =(a+b)(a²-ab+b²)     montrer ensuite que p premier avec       a²-ab+b²  et utiliser   Gauss

Posté par
lakere : arithmetique congruences 20-04-22 à 10:01

Bonjour,

  

Citation :
5)on pose    avec  u entier naturel non nul  montrer que ...


On pose quoi exactement ?

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 10:06

salut

d est-il quelconque ?

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:31

bonjour lake bonjour carpediem
je m excuse  j etais fatiguée
d est le pgcd de x et y

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:39

on a         (E') a^3+b^3=p(1+ab)     et     a\wedge b=1       a+b \equiv 0   (p) \implies    \exists  u   entier    a+b=pu  
j ai remplacé  a=pu-b  dans   (E') mais sans interet
la 6) question est facile

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:47

2/ il serait préférable d'utiliser une autre lettre que d ... par exemple q ...

car d est déjà utilisé comme le pgcd de a et b ... et il n'est pas certain que d = pgcd (p, a) ...

d'autre part puisque p est premier son seul diviseur autre que 1 est lui-même !

et le raisonnement peut donc uniquement se faire par divisibilité (il n'est pas nécessaire de travailler toujours avec le pgcd mais avec un diviseur et ce qui est vrai pour tout diviseur de ... est vrai pur leur pgcd)

donc le raisonnement est plutôt :

supposons que p divise a
on montre alors que p divise d ou p divise b (ce qui revient au même puisque d divise b)
contradiction avec d = 1

3/ et la première égalité ?

5/ il ne manque toujours l'énoncé ...

Posté par
lakere : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:54

5) En supposant donc qu'on pose a+b=pu :

la relation a^3+b^3=p(1+ab) équivalente  à u(a^2-ab+b^2)=1+ab

donne le résultat demandé.

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:58

ok ...

si a + b = pu alors

pu(a - b)^2 + p(u - 1)ab = (a + b)(a - b)^2 + (a + b)ab - pab = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 + a^2b + ab^2 - pab = a^3+ b^3 - pab

ouais bof ...

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 12:59

ha ben oui ...

merci lake

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 13:03

le pgcd  de       a et b     est 1
dans  2 )  j ai commis une betise je devais poser    d'=   a\wedge  p     et .......
a propos de  la premiere egalitée de  3)
         (E') a^3+b^3=p(1+ab)    \implies     a^3+b^3 \equiv  0 (p) \\     \implies a^3 \equiv  -b^3   (p)

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 13:05

dans 5) on pose a+b=pu

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 13:25

aya4545 @ 20-04-2022 à 13:03

dans  2 )  j ai commis une betise je devais poser    d'=   a\wedge  p ..
as-tu lu ce que j'ai écrit ? ... vu que p est premier !!

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 14:06

pu(a - b)^2 + p(u - 1)ab = (a + b)(a - b)^2 + (a + b)ab - pab = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 + a^2b + ab^2 - pab \\ = a^3+ b^3 - pab=p(1+ab)-pab =p

a^3+b^3=p(1+ab) \iff    (a+b)( a^2-ab+b^2) =p(1+ab)  \iff u(a^2-ab+b^2)=1+ab  
u(a-b)²+(u-1)ab=u(a²-ab+b²)-ab=1+ab-ab=1
d ou    u(a-b)²=1 la deuxieme partie de 5)
merci carpediem  merci lake

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 16:00

peux-tu expliquer la déduction de 5/ ?

Posté par
lakere : arithmetique congruences 20-04-22 à 17:52

De mon côté, j'avais vu une somme de deux entiers positifs égale à 1 qui ne laisse place qu'à une alternative.
Je pense qu' aya4545 l'a vu aussi.

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 20-04-22 à 18:17

merci lake

c'est ce que je pensais aussi en supposant qu'on travaillait dans N...

une question me turlupine encore cependant : où intervient la condition sur p : p \equiv 5  [6]  ?

Posté par
lakere : arithmetique congruences 20-04-22 à 21:41

Bonsoir carpediem,

Effectivement, la question demande réflexion. Comme d'habitude (j'ai tort), lorsqu'on a un souci comme ici sur la question 5), je ne me préoccupe pas de ce qui précède.
Bref, il faut tout reprendre de 1) à 6). Il est probable qu'une affirmation tombe en défaut lorsque p\equiv 1\;\;[6] avec p premier. Une hypothèse toute gratuite : peut-être s'agit-il simplement d'éliminer les premiers 2 et 3.
Il faut tout reprendre soigneusement

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 20-04-22 à 23:35

bonsoir
d²(a^3+b^3)=p(1+dab)   et   pgccd(d²,1+dab)=1    \implies_{Gauss}        d^2 |p      et par suite d^{2}  =  p   ou  d^2 =1
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|} \\ \hline \\ reste  de   d par 6                   & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \\ reste de  $ d^2$ par 6 & 0 & 1 & 4 & 3 & 4 & 1 \\ \hline \\ \end{tabular}
or p \equiv 5  (6)  \implies  d² \neq  p conclusion d=1
valeur ajoutée ( je ne dois jamais faire d impasse)
merci   lake  merci carpediem et bonne nuit

Posté par
lakere : arithmetique congruences 21-04-22 à 11:07

Bonjour,

Le seul fait que p soit premier implique que d^2\not=p

   p\equiv 5\;\;[6] n'a rien  à voir dans cette histoire.

Posté par
lakere : arithmetique congruences 21-04-22 à 11:45

Par contre, il serait intéressant de savoir dans 4) comment tu montres que p ne divise pas a^2-ab+b^2 :

   Un exemple : a=2 et b=3 (premiers entre eux).

   a^2-ab+b^2=7

Si p=7, c'est cuit. D'ailleurs a+b=5 n'est pas multiple de 7.

C'est bien là qu'intervient la condition p\equiv 5\;\;[6]

Posté par
lakere : arithmetique congruences 21-04-22 à 13:13

Je te donne le principe pour 4 :

  Avec p=6k+5 et \begin{cases}a^{p-1}\equiv b^{p-1}\;\;[p]\\a^3\equiv -b^3\;\;[p]\end{cases}

  on déduit a^4\equiv b^4\;\;[p].

Puis de \begin{cases}a^3\equiv -b^3\;\;[p]\\a^4\equiv b^4\;\;[p]\end{cases}

  on déduit a\equiv  -b\;\;[p]

  Ce qui est faux en général si p\equiv 1\;\;[6]

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 22-04-22 à 02:39

bonsoir
merci lake
  a^3\equiv -b^3  [p] \iff   a^6 \equiv  b^6 (p)  \iff   a^{6k} \equiv  b^{6k}  (p)       k\in \N^*
or n=6k+5   et  a^{p-1} \equiv b^{p-1}  \implies  a^{6k+4} \equiv b^{6k+4}  \implies  a^{4} \equiv b^{4}

a^{4} \equiv b^{4} \implies  a^{3} \times a \equiv b^{3} \times b  or a^3\equiv -b^3  [p]   donc a\times -b^3 \equiv b\times b^3 [p] donc a\equiv -b (p) car b^3\wedge p=b\wedge p=1
merci infiniment et bonne nuit

Posté par
lakere : arithmetique congruences 22-04-22 à 04:34

De rien pour moi aya4545
Méfie toi avec tes équivalences (fausses) de la première ligne. Des implications suffisent

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 22-04-22 à 10:15

merci lake et bien vu

Posté par
lakere : arithmetique congruences 22-04-22 à 10:46

Bonjour carpediem,

Mais du coup, une question se pose : que se passe-t-il si p\equiv 1\;\;[6] ?

Les solutions trouvées à savoir \dfrac{p-1}{2} et \dfrac{p+1}{2} conviennent.
Y en a-t-il d'autres ?
Je n'ai pas cherché ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruences 22-04-22 à 12:21

Bonjour,
Je propose, pour 4), un cheminement un peu différent qui passe par a2 et b2 au lieu de a4 et b4.
p = 6k+5.
D'après 3), a3 -b3 [p] ; donc a6k+6 b6k+6.
Qui s'écrit aussi a(6k+4)+2 b(6k+4)+2
Or a6k+4 b6k+4 1 [p]. D'où a2 b2 [p].
p divise a-b ou a+b. D'où a b [p].
Mais a n'est pas congru à b modulo p car a3 -b3 [p].
Donc a -b [p].

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 22-04-22 à 12:27

bonjour si p=6k+5 alors (\dfrac{p-1}{2}    ,    \dfrac{p+1}{2} ) ;  (\dfrac{p+1}{2}  ,\dfrac{p-1}{2} ) solution de (E)
reciproquemement
on verifie facilement que les 2 couples cités avant verifient (E)
Conclusion S=\lbrace(\dfrac{p-1}{2}    ,    \dfrac{p+1}{2} ) ;  (\dfrac{p+1}{2}  ,\dfrac{p-1}{2} )\rbrace


si p\equiv 1 (6) je remarque  que (\dfrac{p-1}{2}    ,    \dfrac{p+1}{2} ) ;  (\dfrac{p+1}{2}  ,\dfrac{p-1}{2} )  solutions de (E) mais incappable de le prouver de meme incappable de savoir s ils existent d autres solutions

lake merci pour les conseils et bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruences 22-04-22 à 16:39

Bonjour,
Je me suis contentée de chercher des solutions autres que celles déjà trouvées avec p =7 :
(1,3) et (2,3) me semblent convenir.

Posté par
lakere : arithmetique congruences 22-04-22 à 18:12

Bonjour Sylvieg,

Et merci de t'intéresser à ma misérable question.
Dans un premier temps, j'avais vu ceci :

  

Citation :
4)  remarquer a^3+b^3 =(a+b)(a²-ab=b²) montrer ensuite que p premier avec  a²-ab=b² et utiliser   Gauss


Faisant relativement confiance à aya4545, j'ai pris ça comme du bon pain.

  Et puis, carpediem a posé la question qui tue :

  
Citation :
une question me turlupine encore cependant : où intervient la condition sur p : p \equiv 5  [6]  ?


  Là, j'ai été contraint de remettre en question ma confiance en notre amie aya4545
C'est là que j'ai remarqué que p simple premier pouvait diviser a^2-ab+b^2 ... et la suite.
Maintenant je vois ceci :

  
Citation :
Je me suis contentée de chercher des solutions autres que celles déjà trouvées avec p =7 :
(1,3) et (2,3) me semblent convenir.


  J'ai confiance ; tu ne vas pas nous refaire le coup de la grille de dpi

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruences 22-04-22 à 18:18

Non, je ne vais pas me laisser embarquée cette fois.
Trop de similitudes dans le genre prise de tête

Posté par
lakere : arithmetique congruences 22-04-22 à 18:22

Tu as bien raison : mon dernier message était de la pure provocation
Mais très innocente

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 22-04-22 à 20:50

lake : excuse-moi de ne pas t'avoir répondu : je me suis contenté de tes réponses ...
il faut dire que je n'ai pas approfondi la chose car je te fais pleinement confiance !!

Sylvieg : merci pour cette autre méthode ...

vos deux propositions montre la nécessité de s'imposer la forme p = 6k + 5 pour conclure que a = -b [p]

merci

Posté par
aya4545re : arithmetique congruences 22-04-22 à 20:52

bonjour
merci lake Sylvieg et carpediem merci et mille merci à l interet  que vous donnez à mes messages  que je ne considere pas des provocations  au contraire ce sont des lumieres  des orientations  et des guides  vers le chemin de la reussite

pour la 4) question vu le stress des examens j ai utilisé une drole propriétée  (si un  entier est premier avec deux autres entiers eh bien il est premier avec leur somme!!!

SUITE a des directives de lake j e l ai corrigée  22/4 à 2h 39 mais la methode proposée par  Sylvieg apres est  aussi meilleur

Posté par
lakere : arithmetique congruences 22-04-22 à 23:43

Bonsoir à tous,
Un petit mot à carpediem :
Il y a des jours où je pourrais te faire prendre le .
Et puis il y en a d'autres où je pourrais te faire la bise.
De mon point de vue tu es une "énigme".
Ceci dit, il reste que les exercices posés par aya4545 (outre Méditerranée, je ne sais plus trop où) sont en général difficiles.
A de rares exceptions près, ils sont de niveau Terminale. Que donneraient-ils chez nos "Maths expertes" ? Je ne suis pas très optimiste. Comment en est-on arrivé là ? Ça me désole.

Revenons à aya4545. Entre autres, elle avait posté ceci : integration et changement de variable où nous avions tous séché jusqu'à ce qu'un certain ehlor_abdelali vienne nous sortir de l'ornière.

Une question à aya4545 :

  As-tu eu finalement une solution de ton professeur ? Si oui, elle nous intéresse

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 23-04-22 à 13:34

merci pour l'expression que je ne connaissais pas ... mais pourquoi tant de haine ?

pour me dévoiler "un peu" : oui je suis un peu bourru dans mon genre mais non pas pour agresser mais pour provoquer (au sens noble du terme) et aller au fond du raisonnement (un raisonnement pas une émotion ...) et même si dans le cas présent je n'ai pas été au fond des choses mais simplement effleurer les choses par l'énoncé donné et dans le cas présent pourquoi cette condition sur p ?
je pense que dans cette société (de plus en plus) difficile il est nécessaire d'être exigent et je peux en témoigner d'autant plus avec toute la "bienveillance" qu'on a du appliquer à nos élèves et le niveau de connaissances et de réflexions qu'ils nous montrent finalement en terminale : on commence à se rendre compte que finalement ce n'est pas un cadeau qu'on leur a fait mais plutôt un cadeau empoisonné et qui se retourne en plus contre nous (les enseignants)
en particulier cette exigence pour ceux qui désirent faire "un peu" de math doit déjà se traduire par la rédaction d'un énoncé convenable et précis et c'est souvent pour cela que je "rentre un peu dedans" les posteurs quand je vois des énoncés bâclés pour ne pas dire torchés et qui n'ont alors plus aucun sens ...
ceci est déjà un révélateur de la capacité de nos élèves à repérer ce qui est fondamental et essentiel dans l'énoncé et à retranscrire pour espérer obtenir une réponse raisonnable des aidants.
cela est d'ailleurs révélé dans les études internationales où la capacité d'analyse des textes "scientifiques" des élèves français est plus faible que la moyenne ...

par ailleurs je reconnaitrai toujours ce que m'apportera qui que ce soit comme réflexion, solutions, contre-proposition et argumentaire et même s'il ne va pas dans mon sens (je dois laisser mon émotion de côté et reconnaitre et apprécier le raisonnement)

voila je n'en dirai pas plus ...

quant aux exo de aya4545 ils sont effectivement d'un bon niveau et ... tu as une partie des réponses à ta question déjà au dessus ...

j'ai des math expertes cette année et je vois encore "moins bien" que l'année dernière et un autre révélateur : autant en math complémentaires (fait par un collègue) qu'en math expertes on voit "beaucoup" d'inscriptions en début d'année mais aussi un certain nombre d'abandons dès les premières semaines ...

il semblerait que la notion d'effort et de réflexion ne soit plus d'actualité : la réponse doit être quasi immédiate et instantanée ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : arithmetique congruences 24-04-22 à 12:02

Sylvieg @ 22-04-2022 à 16:39

Bonjour,
Je me suis contentée de chercher des solutions autres que celles déjà trouvées avec p =7 :
(1,3) et (2,3) me semblent convenir.
Non, pas (2,3)

Finalement, je me suis laissée quand même embarquée :
Equation diophantienne

Posté par
lakere : arithmetique congruences 24-04-22 à 13:37

Bonjour Sylvieg
J'avais parié que tu te laisserais embarquer

Posté par
carpediemre : arithmetique congruences 03-12-23 à 11:55

carpediem @ 20-04-2022 à 12:47

5/ il ne manque toujours l'énoncé ...


je reviens sur ce sujet dont j'ai retrouvé l'énoncé original :

Dans tout ce qui suite p est un nombre premier tel que p \equiv 5 [6] et p > 3 cette dernière condition est d'ailleurs inutile puisque 3 \not \equiv 5 [6]
on considère dans \N^{*2} l'équation (E) x^3 + y^3 = p(1 + xy)
Soit (x, y) \in \N^{*2} une solution de (E) et on pose d = x \wedge y et soit (a,b) \in \N^2 tel que x = da et y = db

1) a/ justifier que a \wedge b = 1 et que d^3(a^3 + b^3) = p(1 + d^2ab)
      b/ En remarquant que 1 = (1 + d^2ab) - d^2ab montrer que d^3 \wedge (1 + d^2ab) = 1
      c) Déduire que d = 1 ainsi on a donc \left\lbrace\begin{matrix}a^3+b^3=p(1+ab) \\ a\wedge b = 1 \end{matrix}\right.
2) Montrer que p \wedge a = 1  et  p \wedge b = 1
3) Montrer que a^3 \equiv - b^3 [p]  et que  a^{p - 1} \equiv b^{p - 1} [p]
4) En déduire que a \equiv -b [p]  (on pourra écrire p = 5 + 6k  avec  k \in \N^*)
5) On pose donc a + b = pu  avec  u \in \N^*.
     Montrer que u(a - b)^2 + (u - 1)ab = 1  et en déduire que  \left\lbrace\begin{matrix}a + b = p \\ |a - b| = 1 \end{matrix}\right.
6) En déduire dans l'ensemble des solutions de l'équation (E) .

il existe une différence singulière entre cet énoncé et ce que aya4545 nous a proposé et conduit dans des directions "inutiles" avec ses réponses !!

1a) immédiat

1b) me pose pb : je ne vois pas (comment me servir de l'indication)

1c) immédiat d'après ce qui précède

2/ immédiat (par définition de d)

3/ immédiat

4/ à détailler ... en quoi la condition sur p intervient ...

5/ voir msg de lake

6) "immédiat"


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