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Niveau Licence Maths 1e ann
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Arithmétique d'entiers

Posté par
MuadDib
22-12-21 à 10:04

Bonjour à tous, voici l'énoncé de l'exercice :

Trouver tous les entiers naturels strictement positifs n et p tels que : 6(n!+3)\ =\ p^{2}+5

Donc en raisonnant avec les congruences, on a :
6(n!+3)\ \equiv 0[6] ou encore {}p^{2}\equiv 5\left[ 6\right]
  
J'ai trouvé les valeurs suivantes de n et de p :
(n, p) = (2, 5) et (n, p) = (3, 7) Mais je vois pas vraiment comment aller plus loin

Posté par
ty59847
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 10:25

Dès que n est un peu grand ( à partir de n=5) n! est un multiple de 10
Donc le nombre 6 (n!+3) finit par un 8 comme chiffre des unités.

Etc etc

Posté par
MuadDib
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 10:58

ty59847 @ 22-12-2021 à 10:25

Dès que n est un peu grand ( à partir de n=5) n! est un multiple de 10
Donc le nombre 6 (n!+3) finit par un 8 comme chiffre des unités.

Etc etc


J'avoue ne pas vraiment comprendre en quoi cela nous aide, surtout que le nombre 6(n!+3) se finit bien par un 8 pour n allant de 5 à 9, mais pas forcément au-delà

Posté par
carpediem
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 13:08

salut

peux-tu déjà nous donner proprement les solutions de l'équation p^2 \equiv 5  [6] ?

Posté par
ty59847
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 13:53

Il y a effectivement cette erreur soulignée par Carpediem, dans ton premier message.

Ceci dit , je répète : dès que n est au moins égal à 5, n! est un multiple de 10.
Tu n'es pas d'accord avec ça, c'est pour ça que je le répète.
Donc  on va réécrire l'énoncé de l'exercice

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 5
Question 1 : montrer que n! est un multiple de 10.
Question 2 : Soit u le chiffre des unités de 6(n!+3), calculer u
Question 3 : Soit p un entier quelconque , quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²
Question 4 : En déduire tous les couples (n,p) tels que 6(n!+3)=p²+5

Posté par
MuadDib
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 16:36

ty59847 @ 22-12-2021 à 13:53

Il y a effectivement cette erreur soulignée par Carpediem, dans ton premier message.

Ceci dit , je répète : dès que n est au moins égal à 5, n! est un multiple de 10.
Tu n'es pas d'accord avec ça, c'est pour ça que je le répète.
Donc  on va réécrire l'énoncé de l'exercice

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 5
Question 1 : montrer que n! est un multiple de 10.
Question 2 : Soit u le chiffre des unités de 6(n!+3), calculer u
Question 3 : Soit p un entier quelconque , quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²
Question 4 : En déduire tous les couples (n,p) tels que 6(n!+3)=p²+5


Merci du retour, du coup :
Q1. n! = 1 x 2 x ... 5 x ... x n donc n! est bien multiple de 10 = 2 x 5
Q2. n! ayant 0 comme chiffre des unités, u a donc pour chiffre des unité celui de 6(0+3) = 18, soit 8
Q3. Pour n compris entre 1 et 4, les valeurs sont 5, 7, 9 puis au-delà le chiffre des unités est celui de 6(0+3)-5 = 13 donc 3
Q4. Je n'arrive toujours pas à parvenir au résultat...

Posté par
ty59847
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 17:27

J'avais hésité à renuméroter mes questions différemment. J'aurais dû.
Donc je modifie un peu la numérotation des questions :

Question 1

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 5
Question 1a : montrer que n! est un multiple de 10.
Question 1b: Soit u le chiffre des unités de 6(n!+3), calculer u

Question 2
Soit p un entier quelconque ,
Question 2a
quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²
Question 2b
quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²+5

Question 3 : En déduire tous les couples (n,p) tels que 6(n!+3)=p²+5


Tu as répondu aux questions 1a et 1b
La question 2 est totalement séparée, rien à voir avec la question 1

Et même, la question 2 aurait parfaitement pu venir avant la question 1.

Et ensuite, la question 3, on doit utiliser les résultats des questions 1b et 2b.

Posté par
MuadDib
re : Arithmétique d'entiers 22-12-21 à 18:50

ty59847 @ 22-12-2021 à 17:27

J'avais hésité à renuméroter mes questions différemment. J'aurais dû.
Donc je modifie un peu la numérotation des questions :

Question 1

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 5
Question 1a : montrer que n! est un multiple de 10.
Question 1b: Soit u le chiffre des unités de 6(n!+3), calculer u

Question 2
Soit p un entier quelconque ,
Question 2a
quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²
Question 2b
quels sont les différentes valeurs possibles pour le chiffre des unités de p²+5

Question 3 : En déduire tous les couples (n,p) tels que 6(n!+3)=p²+5


Tu as répondu aux questions 1a et 1b
La question 2 est totalement séparée, rien à voir avec la question 1

Et même, la question 2 aurait parfaitement pu venir avant la question 1.

Et ensuite, la question 3, on doit utiliser les résultats des questions 1b et 2b.


Ok j'ai enfin compris, merci beaucoup !



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