Niveau Maths sup

arithmétique dans les entiers

Posté par jacko78 (invité) 06-01-05 à 18:23

Critère de divisibilité par 3
Soit n un entier naturel s'écrivant:
n=a[p]10^p+...+a[1]10+a[0] avec 0a[k]9 pour k=0 a p-1 et 1a[p]9

NB: a[k] signifie a indice k

Montrer que 3 est un diviseur de n si et seulement si a[0]+a[1]+...+a[p] est un multiple de 3.

Posté par re : arithmétique dans les entiers 06-01-05 à 20:41

$10 \eq 1 \;[3]$

$n=\Bigsum_{k=0}^p a_k\, 10^k \eq \Bigsum_{k=0}^p a_k\, 1^k \;[3] \eq \Bigsum_{k=0}^p a_k\; [3]$

Posté par jacko78 (invité)re : arithmétique dans les entiers 06-01-05 à 21:32

Je comprend pas vraiment les notations que tu emplois, est ce possible d'etre un peu plus détaillé svp Merci d'avance

Posté par re : arithmétique dans les entiers 07-01-05 à 00:05

Un entier $n$ s'écrit en base 10 :

           $\blue \overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0}$

où $a_0$ représente le chiffre des unités ( $10^0$ ), $a_1$ le chiffre des dizaines ( $10^1$ ), $a_2$ le chiffre des centaines ( $10^2$ )  ...

On peut donc écrire

           $\red n=\Bigsum_{k=0}^p a_k\, 10^k$

Or 10 est congru à 1 modulo 3 et par la suite , $\forall k \in {\mathbb N},\;10^k \eq 1 \;[3]$

En reportant dans l'équation rouge, et en appliquant les règles de congruence, on arrive au résultat.

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