Bonjour,
On ne commence pas par trouver le pgcd.
On commence par dérouler un algorithme du pgcd qui permet de trouver une solution particulière.

Voir Spé maths PGCD

Bonjour,

discussion dans laquelle il faudra faire le tri ...
moins polémique : Divisibilité - PGCD et PPCM - Nombres premiers
Exemple 4 : Une équation diophantienne 405x - 120y = 15

ce qu'il faut retenir de ça est que à un moment on écrit la relation de Bézout
4x+5y= P, pgcd de 4 et 5
(relation que l'on obtient par l'algorithme d'Euclide dans le cas général, ou par des considérations assez triviales ici car 4 et 5 sont très petits et la simple connaissance de ses tables de multiplications suffit !

et que en multipliant ça par une valeur adéquate k
4kx + 5ky = kP, ça résout l'équation 4X + 5Y = K (remarquer les majuscules / minuscules)
prendre garde aux diviseurs communs simplifiant l'équation de départ, voir la fiche
c'est à dire que on obtient ainsi une solution particulière

et la solution générale s'obtient comme discuté dans l'autre discussion, ou la fiche de l'ile, (soustraction, et utilisation de Gauss)

je connait cette méthode , c'est laquelle avec on résoud ce genre d'equation mais là , je n'arrive pas à l'appliquer pour trouver la solution particulière , suivant la méthode que vous venez de me dire je trouve
5x1-4x1=1 (je multiplie le tout en 101)
  101x5-101x4=101

Je trouve donc la solution particulière :
(-101 , 101)

et qu'est ce qui te choque là dedans ?
on a bien la solution particulière (-101; 101)

-101×4 + 101×5 =101 est bien vraie , non ?
donc c'est bien une solution particulière...

Si tu avais exposé ce qui précède dans ton premier message, on aurait moins perdu de temps.
Et pourquoi cette solution particulière te pose un problème ?

Mon dernier message ne s'adressait pas à toi mathafou

Avec la calculatrice , je trouve une autre solution particulière qui est : (-56,65)
Est-ce que c'est impossible de la trouver par autre méthode ?

Tu vas trouver toutes les solutions à la fin.
Et (-56,65) en fera partie.

Bonsoir Sylvieg , je suis désolée d'etre si bete , mais je croyais que c'était faux , toutefois ce n'était pas une perte de temps , je viens de lire ce que vous m'avez proposer et je trouve que c'est tres interessant pour moi  Merci encore!

D'accord , bonne soirée !

@Sylvieg je l'avais bien compris

@mouloy : de l'importance de dire dès le départ et explicitement ce qu'on a trouvé (même si on pense que c'est faux), essayé, etc
ce qu'on sait ou pas ("je connait cette méthode")

ça évite des quiproquo, des renvois vers des trucs que tu sais déja comme si tu ne les connaissais pas (des "lis ton cours" par exemple, dis avec plus ou moins d'indulgence ) etc

je serai plus attentive à ce genre de détails la prochaine fois . Merci !

(4 ; 17) était sympa comme solution

bonsoir malou , comment y parvenir ?

on peut faire comme à l'école primaire

supposons qu'il n'y ait que des trucs (des x, des moutons ordinaires) à 4 (pattes)
alors il y en aurait 101/4 = 25, en nombre entiers (pas encore débités en côtelettes)
ce qui ne ferait que 4×25 = 100 (pattes)
chaque fois que je remplace un mouton à 4 pattes par un mouton à 5 pattes, je rajoute une patte
comme il faut ajouter une patte à 100 pour avoir 101 je peux remplacer juste un mouton ordinaire par un mouton à 5 pattes
et la solution (particulière)
x = 24, y = 1
4×24 + 1×5 = 101


d'autres raisonnements donneraient encore d'autres solutions particulières.
ce n'est pas le choix qui manque vu que n'importe laquelle du nombre infini de solutions (dans Z) peut être considéré comme une solution particulière !

* considérée (la solution, pas le nombre)

Une manière de trouver (4 ; 17).
La division euclidienne de 101 par 5 peut se faire mentalement :
101 = 100 +1 = 520 + 1
On cherche donc un multiple de 4 qui s'écrive 5q + 1 :
16 = 53 + 1.

101 = 5(17+3) + 1 = 517 + 53 + 1 = 517 + 44

4x+5y=101
Donc 101-5y doit être un multiple de 4
Ah, coup de bol, si y=1, 101-5y donne 96, et c'est un multiple de 4.  96/4 donne 24
Donc (24,1) est une solution.

salut

même si ty59847 est intervenu ...

101 = 96 + 5 est une évidence quand on voit 4x + 5y = 101

et tout le monde sait (et encore plus un spé math) que 96 est multiple de 4 puisque 96 = 80 + 16 ...

PS : et puisque l'équation admet une infinité de solutions elle admet donc une infinité de solutions particulières ... et tout le pb en général est d'en trouver (au moins) une ...