Soient K un corps commutatif  , E := K[X]  et  F l'ensemble des éléments de E qui sont irréductibles et unitaires .
Soient  A et B deux parties finies non vides de F et u : A *  , v : B * .
Supposons que   les polynômes S :=   { P^u(P) │ P A } et T :=    { P^v(P) │ P B }  soient égaux .

Il s'agit donc de montrer que A = B et u = v .

Si P A , P divisant S  divise donc  T . Etant irréductible il figure dans le produitqui définit T . Autrement dit on a : A B .
Pour la même  raison on a aussi B A et donc
A = B  et    { P^u(P) │ P A }  =    { P^v(P) │ P A }  

   Soit à nouveau un P A et supposons qu'on ait  par exemple u(P) < v(P)  .
On aurait S/P^u(P)  = T/P^u(P)   et P  diviserait et ne diviserait pas le même polynôme ce qui est manifestement impossible .
On a donc u(P) = v(P) .

Finalement u = v .