Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Arithmétique (divise)

Posté par
marcelleK
11-11-20 à 21:28

Bonjour,

Déterminer tous les n tels que n -1 divise n4 + 1 .

Quelqu'un aurait une piste ?

En vous remerciant à tous  : )

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 21:51

Bonsoir,

Fais la division euclidienne de n4+1 par n-1, et trouve les valeurs de n qui annulent le reste.

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 21:56

Les valeurs de n , bien sûr...

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 22:23

Le résultat est amusant

Posté par
marcelleK
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 22:37

n^{4}+1=(n-1)(n^{3}+n^{2}+n+1)

n^{4}+1=n^{4}-1   ?

Posté par
marcelleK
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 22:39

le reste étant 2

Posté par
marcelleK
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 22:39

Bonsoir à toi LeHibou

Posté par
marcelleK
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 23:16

je ne vois pas désolé

(n-1)k = n4+ 1

nk - n = n4+ 1

n4 + n  + 1 = kn  

ca marche pour 1  , pas pour  2  ,  pour 3 , pas pour 4 , pas pour 5 ...

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 23:49

Par division euclidienne tu obtiens :
n4 + 1 = (n-1)(1 + n + n2 + n3) + 2
Le reste est 2, il est constant et ne s'annule jamais.
Donc (n-1) ne divise jamais (n4+1)

Posté par
jarod128
re : Arithmétique (divise) 11-11-20 à 23:57

Bonsoir.
Essaye déjà n=-1

Posté par
marcelleK
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 00:08

oui donc on ne peut pas " faire semblant " que le  reste est nul, il est soit constant, soit variable et  là "il y aurait quelque chose à faire.

*  d'ailleurs je me trompe  pour 3 ca ne marche pas mais étonnamment  ça marche pour 1.
mais c'est une division par zéro du coup, il faut exclure 1 avant d'écrire cette égalité.

ps : lorsque tu m'as dit amusant je m'attendais à quelque chose qui sort de l'ordinaire mais c'était un piège en fait

Posté par
jarod128
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 00:18

Non 3 ça marche et 1 ça ne marche pas. La conclusion de LeHibou est fausse

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 00:35

Citation :
Non 3 ça marche et 1 ça ne marche pas. La conclusion de LeHibou est fausse

C'est vrai, malheureusement...
Il fallait considérer séparément le cas ou le quotient est nul :
1 + n + n2 +n3 = (1 + n)(1 + n²)
Le quotient s'annule pour n = -1, et précisément pour cette valeur le diviseur n-1 = 2, et n4+1 = 2

Au temps pour moi !

Posté par
jarod128
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 06:44

3 marche qui vient du fait que l'on doit considérer le cas du diviseur égal au reste. Avec 3 ce n'est pas une division euclidienne.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 07:35

Bonjour,
L'écriture n4+1 = (n-1)(n3+n2+n+1) + 2 ne permet pas d'affirmer que 2 est le reste de la division euclidienne de n4+1 par (n-1).
Un reste doit vérifier un encadrement.

Posté par
LeHibou
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 14:13

Citation :
Un reste doit vérifier un encadrement.

Merci Sylvieg, je me demandais où je m'étais "planté", grâce à toi maintenant je sais

Posté par
carpediem
re : Arithmétique (divise) 12-11-20 à 15:47

salut

une alternative un peu plus rapide que la division ... qu'elle soit euclidienne ou non ...


n^4 + 1 n'étant pas nul on en déduit que n + 1 ne peut être nul ... car d'aucuns considèrent que 0 divise 0) ... bon c'est pour le fun ...


n^4 + 1 = (n^2 - 1)^2 + 2n^2

donc n - 1 divise n^4 + 1 \iff n - 1 divise 2n^2

2n^2 = 2(n^2 - 1) + 2

donc n - 1 divise n^4 + 1 \iff n - 1 divise 2

or les diviseurs de 2 dans Z sont ... donc n prend les valeurs ...



on aurait pu continuer sur notre lancer dans la première étape : n^4 + 1 = (n^2 - 1)^2 + 2(n^2 - 1) + 2



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !