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Arithmétique -équation

Posté par
mousse42 24-09-19 à 20:58

Bonjour,

Je souhaite résoudre le problème suivant :

Citation :

Montrer que  5x^3+11y^3+13z^3=0 n'a pas de solution dans \Z non triviale.


L'objectif est de résoudre ce problème mais aussi de trouver un raisonnement le plus court possible.

Voici ce que j'ai fait :

5x^3+11y^3+13z^3=0\iff 5x^3+11y^3=-13z^3

En raisonnant modulo 13,  on déduit que pour tout x\in \Z,\;x^3\in \{-5,-1,1,5\}\,[13]

Pour trouver ces valeurs j'ai dû tester chaque modulo de x, n'y-a-t-il pas une méthode plus simple?

Ensuite j'ai suivi deux voies,

la première est la suivante :

On déduit du passage ci-dessus que 5x^3\in \{-1,1,5,8\}\,[13] $ et que $ 11y^3\in \{-3,-2,2,3\}\, [13] et qu'il existe aucun couple (a,b)\in \{-1,1,5,8\}\times \{-3,-2,2,3\}, $ tel que  $ a+b=0\,[13]
A ce niveau je pense avoir résolu le problème, mais cela me semble être "du bricolage", enfin je pense, enfin j'espère trouver un raisonnement plus direct...

La seconde voie consiste à considérer l'équation diophantienne

5x'+11y'=-13z' avec (x',y',z')\in \{-5,-1,1,5\}^3

J'ai résolu l'équation 5x'+11y'=1 et je trouve

x'=-2-11k $ et $ y'=1+5k,\quad k\in \Z

Mais j'ai l'impression que ça ne mène nulle part

Posté par
carpediemre : Arithmétique -équation 24-09-19 à 23:34

salut

"passer de l'autre côté" ne fait pas avancer le schmilblick ...

dans ce genre d'équation tout le pb est de trouver le bon modulo ...

et 13 ça commence déjà à être un peu compliqué

je commencerai plutôt modulo 5 :

5x^3 + 11y^3 + 13z^3 \equiv y^3 + 8z^3 \equiv (y + 2z)(y^2 -2yz + 4z^2) \equiv (y + 2z)(y - z)^2 \equiv 0

Posté par
mousse42re : Arithmétique -équation 24-09-19 à 23:55

ok, merci carpediem, je vais regarder cela

Posté par
jsvdbre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 00:08

Salut Mousse.
tu peux aussi travailler ton équation modulo 2 puis modulo 3 puis modulo 5, ça se simplifie pas mal.

Posté par
mousse42re : Arithmétique -équation 25-09-19 à 00:14

j'ai un doute sur la factorisation, j'ai essayé avec le modulo 5, et chaque terme de l'équation sont égale à \pm 1 ou \pm 2 modulo 5, ce qui n'est pas très pratique...

Posté par
mousse42re : Arithmétique -équation 25-09-19 à 00:15

Salut jsvdb, ok merci je vais regarder cela

Posté par
carpediemre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 14:26

mousse42 @ 25-09-2019 à 00:14

j'ai un doute sur la factorisation, j'ai essayé avec le modulo 5, et chaque terme de l'équation sont égale à \pm 1 ou \pm 2 modulo 5, ce qui n'est pas très pratique...

Posté par
carpediemre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 14:26

il n'y a pas à avoir de doute !!! soit je me suis trompé soit ... je ne me suit pas trompé ...

Posté par
mousse42re : Arithmétique -équation 25-09-19 à 15:15

j'ai dit que j'avais un doute, pour être diplomate.

J'aurais pu dire "qu'est ce que c'est cette factorisation, un peu de sérieux, on est dans le supérieur..."

ou alors : "revois tes identités remarquables ...."

Mais j'ai préféré exprimé un doute pour rendre les choses plus cordiales

Posté par
carpediemre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 16:30

ha merde !!! j'ai fait + 1 + 1 au lieu de faire +1 - 1 !!!

donc ok d'ac ...

mais sinon ben l'idée est là (et voir le msg de jsvdb) : jusqu'à 5 on peut le faire à la main ou de tête ... mais pour 13 ça devient tout de suite plus coton ...

Posté par
alb12re : Arithmétique -équation 25-09-19 à 16:40

salut,

mousse42 @ 25-09-2019 à 15:15

j'ai dit que j'avais un doute, pour être diplomate.
J'aurais pu dire "qu'est ce que c'est cette factorisation, un peu de sérieux, on est dans le supérieur..."
ou alors : "revois tes identités remarquables ...."
Mais j'ai préféré exprimé un doute pour rendre les choses plus cordiales

mousse42: 1 carpediem: 0 plus exactement 1-1.

Posté par
carpediemre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 18:22

il y a une citation de ... je ne sais plus qui  !!! et qui dit ... en gros !!! : on reconnait un grand prof de math/mathématicien aux nombres d'erreurs qu'il commet ...

bien évidemment je ne me reconnais pas comme un grand mathématicien ... vu que je ne fais pas d'erreur !!! ... ou si peu ...

moi : + vingt-douze
alb12 : - quarante-treize




PS : je n'apprends plus ... du moins de façon institutionnelle (car évidemment chaque jour j'apprends quelque chose ... mais que malheureusement très souvent j'oublie aussi vite ...)

Posté par
jsvdbre : Arithmétique -équation 25-09-19 à 18:30

😂😂😂


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