Niveau énigmes

arithmétique et programmation

Posté par
verdurin 14-08-20 à 23:19

À partir de cette question JFF : somme de carpediem je pose deux définitions :

Une liste d'entiers strictement positifs est parfaite si la somme des éléments de la liste est un multiple de chaque élément de la liste.
Par exemple les listes [1, 2, 3] ; [2, 4, 6] et  [1, 2, 3, 6] sont parfaites.
Il est clair que le deuxième exemple ne présente guère d?intérêt et que le troisième peut-être prolongé indéfiniment ( voir le fil en lien ).

Je définis alors les suites parfaites primitives ( suites PP ) par
      -- elles sont parfaites ;
      -- leur PGCD est 1 ;
      -- si on enlève le plus grand nombre de la liste, elle n'est plus parfaite.
Ainsi  [1, 2, 3] est une suite PP mais [2, 4, 6] et  [1, 2, 3, 6] ne le sont pas.

Je crois qu'il y a des suites PP de longueur n quelque soit l'entier n plus grand que 3.

Il y a alors deux questions.
Pouvez vous prouver ce résultat ?
Pouvez vous trouver des suites PP de longueur n avec n entre 3 et 50 ?

Un exemple :
une suite PP de longueur 45
[1,2,3,4,5,6,7,9,10,12,14,15,18,20,21,25,28,30,35,36,42,45,50,60,70,75,84,90,100,105,126,140,150,175,180,210,225,252,300,315,450,525,630,700,900]

_{malou edit > **lien rétabli **}

Posté par re : arithmétique et programmation 15-08-20 à 17:02

salut

tout d'abord peux-tu nous donner la somme de ta suite PP de longueur 45 ?

ensuite je ne comprends pas pourquoi [1, 2, 3, 6] n'est pas PP

en numérotant 1/, 2/ et 3/ tes conditions alors quelques remarques ou idées/questions :

la condition 2/ (pgcd) est évidemment satisfaite dès que l'on commence par 1

si s est une suite P alors la suite ks (on multiplie tous les termes de s par k) est aussi une suite P et ne vérifie pas la condition 2/ et réciproquement : si ks est P alors s est P

donc pour toute suite P on peut diviser par le pgcd des termes ...

peut-être une vision géométrique qui peut inspirer

si $s = \sum_1^n a_k$ est une suite P (avec pgcd = 1) de longueur n alors pour tout m $\sum_{k \ne m} a_k = p_ma_m$ (*) (car a_m est trivialement multiple de lui-même)

ceci est l'équation d'un hyperplan dans $\Z^n$ (on en a n d'ailleurs)

d'autre part en sommant les n égalités (*) obtenues pour chaque m entre 1 et n on a : $(n - 1)s = \sum_1^na_kp_k$ qui est encore l'équation d'un hyperplan

et c'est aussi des équations diophantiennes qui admettent une infinité de solution (au plus )

maintenant pour que la suite soit PP il faut encore qu'il existe un entier p tel que S - a_n ne soit pas multiple de a_p ... mais comment traduire cela convenablement ...

Posté par re : arithmétique et programmation 15-08-20 à 19:29

Salut carpediem.
La somme de la suite que j'ai donnée est 6300 qui a 54 diviseurs.

La liste [1,2,3,6] n'est pas primitive car en enlevant le plus grand terme ( qui est 6 ) on obtient la suite parfaite [1,2,3].
C'est le point qui me semble le plus important.
L'objectif étant d'écarter les suites du genre [1, 2, 3, 6, 12, 24, . . .] ou [1, 2, 4, 7, 14, 28, 56, . . .] qui sont évidement parfaites et peuvent avoir une longueur quelconque de façon évidente ( plus grande que 3 ou 5 ).

L'idée des hyperplans dans $\Z^n$ me semble intéressante et je vais la regarder.

Posté par re : arithmétique et programmation 15-08-20 à 20:14

ha mais oui !!! y a des fois (de plus en plus trop souvent !!! ) où je suis vraiment bête !!!

j'avais beau lire et relire ... quand on a le nez trop dessus on n'y voit plus rien !!!

une dernière chose : l'équation $(n - 1)s = \sum_1^n a_kp_k \iff \sum a_k (p_k + 1 - n) = 0 \red (1)$ et on retrouve le caractère "homothétique" des suites P

donc il est fort pertinent de ne s'intéresser qu'au suite P vérifiant pgcd = 1

et de se demander s'il y a toujours une solution (pour tout n) dans $\N^n$ (en fait puisqu'on travaille uniquement avec des entiers naturels)

on peut cependant remarquer que :

a/ pour un s donné on connait son nombre de partitions
b/ pour ce même s le nombre de partitions qui forme une suite P est encore plus faible (qui vérifie la relation (1) pour un n donné avec n > 3)
c/ pour ce même s le nombre de partitions qui est une suite P qui soit aussi PP est encore plus faible

...

Posté par re : arithmétique et programmation 16-08-20 à 01:09

Bonjour.

Voici une suite de longueur 2n-1  (n étant un entier supérieur ou égal à 2):
pour   $1\leqslant k\leqslant n$     :     $u_k=2^{k-1}$
pour   $1 \leqslant k\leqslant n-1$    :     $u_ {n+k}=2^{k-1} \left(2^n-1\right)$

Voici une suite de longueur 2n  (n étant un entier supérieur ou égal à 2):
$u_1 = 1$
pour   $2\leqslant k\leqslant n$     :     $u_k=2^{k}$
pour   $1 \leqslant k\leqslant n$    :     $u_ {n+k}=2^{k-1} \left(2^{n+1}-3\right)$