salut

FerreSucre @ 20-02-2021 à 19:33

Donc , et donc :

Je me disais bien que cette étape là était un peu rapide... mais j'ai pas envie de faire une disjonctions de cas pour ça si ? Y'aurait pas plus simple ?

Merci

il n'ya pas de disjonction de cas à faire ... mais réfléchir un peu

3 divise 5b

que peut-on en déduire naïvement ?

Bah naïvement on peut en déduire que mais sinon que : ?

J'ai pas d'idée dans l'immédiat.... dsl :/

Généralisons.
Tu écrirais de la même façon : Si 3 divise kb alors b=3n  
?

Non évidemment mais du fait que ici k est premier je me dit que forcément b = 3n ?

Ou alors juste que 3 ne divise pas 5 ?

C'est à peu près exact. C'est donc faux.
En terminale, on accepte des imprécisions de ce type, mais si tu fais la même faute en supérieur, ce sera sanctionné.

Recommençons avec un autre exemple : Si 6 divise kb alors b=6n
Tu écrirais ça?  Tu ajouterais quel argument pour justifier ?

Hmm j'essaye :

si et seulement si k et « p »sont premiers avec « p=6 » ici ? Car 3|6 ?

Euh Nn je dis n'importe quoi, après plusieurs test.. je dirai :

si et k premier ?

L'arithmétique ça retourne bien le cerveau comment c'est dur alors que ça en a pas l'air mdrr, c'est de loin la chose la plus difficile pour moi en maths... pour le moment après c'est peut-être parce que ça fait 3 mois que j'en ai pas fait et que j'ai loupé les 3 première heures dessus mais... ça a l'air si simple ici pourtant j'arrive pas à comprendre pourquoi...

Il y a une formulation que je n'ai pas vu dans tous ces messages, et c'est la formulation attendue ici :
3 et 5 sont premiers entre eux donc ... ...
Comme tu as écrit à peu près tout ce qui te passait par la tête, peut-être que tu ne connais pas cette notion de nombres 'premiers entre eux', mais ce serait surprenant en Terminale.

Ah oui bah non je connaissais pas ce terme fin déjà entendu parler mais jamais abordé fin quoique peut-être y'a longtemps mais j'ai oublié alors...

Si :

, et premiers entre eux, alors .
Donc q ne divise pas ? c'est ça qui me gêne...

C'est le théorème de gauss en fait ducoup j'ai cherché un peu ?

On va continuer dans la rigueur.

Soient 3 entiers.
Si divise, et si et sont premiers entre eux, alors divise .

Toi tu dis :  ... ... alors .
C'est qui ce qui apparaît comme ça ?
Systématiquement, avant d'utiliser une nouvelle variable, il faut la présenter (il faut l'introduire avec l'un des quantificateurs ou )

Soient 3 entiers.
Si divise , et si et sont premiers entre eux, alors il existe un entier tel que


Cherche quand même la définition de nombres 'premiers entre eux'. C'est une des définitions qui intervient le plus souvent dans les exercices d'arithmétique.
Et je suis à peu près sûr que c'est au programme.

Et essaye de comprendre pourquoi les arguments 'k premier' ou 'q ne divise pas k' ne conviennent pas.

donc on aurait :


Or si q et k premier entre eux :



Donc :



Dans l'idée ? Mon écriture de revient à si on prenait chaque cas 1kb, 2kb ...

C'est à peu près le principe ducoup ?

Dsl post croisé, je penserai au quantif au début la prochaine fois.
Y'a un problème dans ce que j'ai mis c'est que ça marche que pour q et k premiers ...
2 pourrait diviser q si q et k était premier entre eux.
Je viens surtout de me rendre compte que notre prof nous a jamais parlé d'identité de bezout, de théorème de gauss et compagnie je vais devoir apprendre avec un pdf mdr...

Comment on pourrait sans sortir avec mon idée ? Sans utiliser une autre démonstration, j'ai regardé celle sur le pdf d'yvan monka, pas encore tout compris après 30 min mdr mais je m'y remettrai dedans (c'est la démonstration de l'identité de bezout qui me perturbe), Parce que pour les nombres premiers ce que j'ai fais c'est logique mais premier entre eux ça fonctionne pas.

Je ne savais même pas que ce résultat était appelé théorème de Gauss.
Je ne comprends pas trop ton message de 0h11.  Mais laisse tomber.

Revenons à l'exercice initial, parce qu'on a passé beaucoup de temps sur un problème de rédaction, alors que la suite est franchement fausse.

Mais ce sera demain, et peut-être sans moi.

Pour avancer un peu plus c'est évident que :

, x et k sont premiers entre eux parce que si on a un entier avec x, c'est que un diviseur de q a été « choisis » mais il est pas diviseur de k.

Mdr j'en peux plus de ma rédaction incompréhensible... je suppose... enfin bref :

et sont toujours premiers entre eux. Après :

est impossible puisqu'il sont premier entre eux. Donc :

avec q et k premier entre eux si b = qn obligatoirement ?
Y'a de l'idée ? Malgré ma rédaction extrêmement nul on peut le dire tellement j'ai pas l'habitude de ça désolé ^^.

Oui t'inquiètes, c'est juste que je déteste pas comprendre quelque chose alors généralement je ne dors pas tant que j'ai pas compris... mais comme ça devient un peu plus clair je crois avec ma « démonstration » qui n'est pas clair je suppose...  je vais pouvoir y aller xD. On verra la suite demain..

Si jamais c'est pas clair mon truc, j'essayerai de faire une rédaction plus propre si vous me le demander ^^.

Bonjour,
Non, ce n'est pas clair

L'énoncé est à 4 km : 3a-5b = 3
Équivalent à : 5b = 3(a-1).

Tu as été absent ; mais tu as un cours, au moins un livre, sur les chapitres manqués.
Ce serait utile d'y jeter un œil pour vérifier que le théorème de Gauss y figure après la notion d'entiers premiers entre eux.
Et de lire ce qui entoure tout ça.

Corrige ton 1er message qui était dans la bonne direction.
Il y manque la justification de b = 3n.
Et le b = ... y est faux.

oui mais même sans rien connaitre de quoi que ce soit :

quand on a devant les yeux la relation 3(a - 1) = 5b

on sait donc (cours de base) que 3 divise 5b (et de même 5 divise 3(a - 1)

si on avait eu 3(a - 1) = 15b alors tu aurais conclut a - 1 = 5b  ... et rien d'autre !!! (enfin il faudrait poursuivre à l'identique de ce que je demande)

mais naïvement et en regardant les nombres pourquoi peut-on conclure que 3 divise b ? (la réponse a été donnée plus haut)

compare avec ces égalités aussi : 6(a - 1) = 15b ou 6(a - 1) = 16b ou 6(a - 1) = 5b

et conclus naturellement ce qui est une évidence ... mais qui se démontre très proprement bien sûr ensuite)

Donc ducoup :


comme 3 et 5 sont premiers entre eux alors :

Juste ça sert à rien de faire cette partie là ducoup ? :

, 3 et 5 sont premiers entre eux donc :

Merci

Là, c'est n'importe quoi.
Faisons simple.
Cherche un couple (a,b) qui vérifie l'équation proposée. Par tâtonnement.
Puis un 2ème, puis un 3ème.
Et ensuite, tu auras tous les éléments pour généraliser.

Comment ça c'est n'importe quoi mdrr ? Là je comprends plus rien si ce que j'ai fais est faux....

Bah comme couple ducoup on a :

ce n'est pas tout à fait n'importe quoi mais ça comporte encore une erreur !!

FerreSucre @ 21-02-2021 à 11:02


comme 3 et 5 sont premiers entre eux alors :    ici un n


, 3 et 5 sont premiers entre eux donc :    ici encore n

Hmm d'accord j'ai une question ducoup :

Est-ce que c'est nécessaire dans ce genre de situation de traiter le deuxième cas ? Ou 5|...
?

Bah sinon :



On a donc ?

((-4,-3) , (1,0) / (6,3) / (11,6) / (16,9) / (21,12)...
Ok
Partons du couple (1,0) , les autres couples que tu as écrits peuvent être présentés ainsi :
(-4, 3), c'est (1-5, 0-3)
(6, 3), c'est (1+5, 0+3)
(11, 6), c'est (1+2*5, 0+2*3)
(16, 9), c'est (1+3*5, 0+3*3)
Et l'ensemble de toutes les solutions , ce sont tous les couples (1+n*5, n*3)  avec n entier.

Voilà, la dernière phrase de ta réponse, ça doit être celle là.
Reste à rédiger les choses correctement, pour amener ce résultat.

C'est ce que j'ai mis au final ? Non ?

L'exercice demandait l'ensemble des couples (a,b) solution d'une équation.

Donc la dernière phrase de ta réponse doit être : L'ensemble des solutions est bla bla bla.
Celui qui lit ta réponse doit pouvoir identifier rapidement la partie raisonnement, et la réponse proprement dite.

Et je pense qu'une réciproque ne serait pas de trop.

Oui ça d'accord normal mais je voulais juste savoir si mon raisonnement était correct.
Mais ducoup j'ai toujours ma question :

Est-ce qu'il faut obligatoirement traiter le cas 3| ... et 5|... pour ce genre d'exercice ou quoiqu'il se passe on retombera sur les mêmes solutions ?

b = 3q et b = 3n ,

et ,

?

n'importe quoi !!!

3(a - 1) = 5b

donc ...

donc il existe des entiers m et n tels que b = 3n et a = 5m + 1

montrer que m = n ...

Ah je vois :



Personne n'a répondu à ma question toujours :

Est-ce obligatoire de traiter les deux cas, 3|... 5|.. ou bien juste 1 suffirait ?

Tout dépend de la façon dont tu traites chacun des cas.
Selon que tu rédiges avec des  'si et seulement si'   ou avec des 'si', il faudra (ou pas) traiter plusieurs cas.

Quand je lis ta démonstration 'à voix haute'  , ça donne ça :

3 divise 5b ; comme 3 et 5 sont premiers entre eux alors 3 divise b, ce qui est équivalent à : pour tout entier n, b=3n et a=5n+1

Le est faux , à ce niveau, on attend plutôt un ... et on doit deviner comment tu passes de b=3n à a=5n+1
Corrige ça, et suivant la façon dont tu rédiges, tu verras si ta réponse est complète ou pas.

Pour passer de à on a :



Parcontre pour le pourquoi on peut pas l'utiliser ? C'est généralisé pour tout n ici non ? :/

tu as montré qu'il existe un n tel que b = 3n

ensuite tu dis que b = 3n et a = 5n +1

les couples (a, b) = (5n + 1, 3n) sont-ils solution pour tout n ?

Bah :


Donc quelque soit l'égalité est vérifié.

Ça fait beaucoup de chose pour une simple question d'exercice ? Non ?

Et d'ailleurs l'exercice proposait quelque chose d'autres pour répondre à cette question :

(E) : 3a-5b = 3
Montrer que le couple (a,b) est solution de (E) si et seulement si :



En déduire l'ensemble des solutions de (E), je vois pas en quoi ça nous permet de conclure ?

3(a-6) = 5(b-3)
Notons n ce nombre : n=3(a-6) = 5(b-3)
Tous les nombres n sont multiples de 15, et tous les multiples de 15 permettent de bâtir un couple solution (a=5k+6, b=3k+3)

N'est-ce pas aussi simple avec 3(a-1) = 5b , puis N = 3(a-1) = 5b ?

Par ailleurs :

@FerreSucre
Saura-t-on un jour si tu es censé avoir vu le théorème de Gauss ?