I— Résoudre dans No, le système S
a*b= 12600
ppcm'a,b) = 1260
III — Soit n  ?N .
1) Pour : 1 = n = 6, calculer les restes de la division euclidienne de 5^n par 13.
2) a —Montrer par récurrence sur n, que 5^{4n} -1 est divisible par 13
b—En déduire que : ,  et est divisible par 13.
c— Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre
3). Le nombre p étant un entier naturel on considère le nombre A, défini par  
a—Si p = 2n, quel est le reste de la division de A, par 13.
b- Démontrer que, si p = 2n+1, A est divisible par 13.

4) On considère la Suite (U_n)n=2, définie par :
a—Montrer que
b— Montrer que si U est divisible par 13 alors est divisible par 13.
c-Réciproquement, montrer que si est divisible par 13, alors U, est divisible par 13                    
d— En déduire les valeurs de n telles que U_n, soit divisible par 13.


voilà mes réponses:
pour la question  I  :        a=10a' et b=10b' on obtient  a'*b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
   126=2*3^{2}*7
   126=2*63=18*7=14*9   d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)
  
   ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair
  
  
  
  
I-
1)    n=1.....5^1....r=13
       n=2.....25.....r=12
       n=3.....125....r=8
       n=4.....625....r=1
       n=5.....3125...r=5
       n=6.....15625..r=5
      
2)-a- la propriété est vrai pour n=0  suppose que p_n est vrai mtr que p_{n+1} est vrai
4^{4n+4}-1=652*5^{4n}-1=624*5^{4n}+5^{4n}-1 ........ est divisble par 13

-b-    5^{4n+1} -5=5*(5^{4n}-1)divisble par 13 , 5^{4n+2}- 12=25(5^{4n}-1)+13 divisble pa 13  et 5^{4n+3} - 8=125(5^{4n}-1)+117 est divible par 13

-c-  5^{2011}=5^{4*502+3} donc le rste est 8 d'aprés la question précedent
3) -a-
A(2n)=...=5^{4}(1+5^{4n}) divisible par 13 donc le reste : r=0
-b-  A(2n+1)=...=5^4(5^{4n}+5^{8n}) divible par 13 d'aprés la question précednet ...

4) -a-  j'ai montré l'égalité c'est un somme de suite géometrique

-b-  on a :  4*u_n = 5^n-1  j'ai voulu mtr que 4 et 5^n-1 sont premiers entre eux de suite utilisier la  lemme de Gauss
     mais il semble que 5^n -1 est divible par 13 .....  j'ai besoin d'aide avec cette question  
      
-c- on a 4*u_n = 5^n-1
donc    13U_n -3*(4U_n)=U_n  ? 13U_n -3*(5^n-1)=U_n    ?....? alors u_n est divisble par 13
-d-  u_n est divisible par 13   4*u_n est divible par 13 donc 5^n-1 est divisible par  13
je panse à la théoreme de fermat mais je n'arrive pas