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arithmétique financière- suites

Posté par
sissa110 22-02-23 à 11:15

Bonjour
J'espère que quelqu'un saura prouver l'affirmation suivante:

Pour le réel i fixé tel que 0<i<1 et n>0, on pose u(n)=[2(1+i)^n-1]^(1/n)-1.
Montrer que, lorsque n tend vers l'infini, u(n) est équivalent à i+(i(1+i))/(1+ni).
J'arrive à démontrer que u(n)>i et que u(n)-i tend vers 0, mais je suis loin de ce qui est demandé!

Posté par
carpediemre : arithmétique financière- suites 22-02-23 à 11:23

salut

applique le binome de newton à (1 + i)^n ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arithmétique financière- suites 24-02-23 à 19:27

Bonjour


il me semble qu'il y a une double ambiguïté dans cet énoncé :


\bullet la première vient du fait que l'écriture \Large\blue{\boxed{u_n~\sim~i+\frac{i(1+i)}{1+ni}}} n'a pas beaucoup de sens

vu que le terme \Large\boxed{\frac{i(1+i)}{1+ni}} est négligeable devant le terme \Large\boxed{i}.


\bullet et la seconde vient du fait qu'elle peut laisser comprendre que \Large\blue{\boxed{u_n-i~\sim~\frac{i(1+i)}{1+ni}~\sim~\frac{1+i}{n}}}

ce qui n'est pas vrai ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arithmétique financière- suites 24-02-23 à 20:23

Je m'explique au sujet de la seconde ambiguïté :

on a pour tout entier naturel non nul n, \Large\boxed{u_n-i=\left(2(1+i)^n-1\right)^{\frac{1}{n}}-(1+i)=(1+i)\left[\left(2-\frac{1}{(1+i)^n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]}


et donc \Large\boxed{u_n-i=(1+i)\left[e^{\frac{1}{n}\ln\left(2-\frac{1}{(1+i)^n}\right)}-1\right]~\sim~(1+i)\frac{1}{n}\ln\left(2-\frac{1}{(1+i)^n}\right)}


ce qui donne \Large\blue{\boxed{u_n-i~\sim~\frac{(1+i)\ln2}{n}}} sauf erreur de ma part bien entendu


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