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Niveau Licence Maths 1e ann
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arithmetique grouope

Posté par
Roon
08-01-23 à 15:40

Exercice 5. Les groupes suivants, sont-ils isomorphes ? Pourquoi ?
(a) (Z/14Z; +) x(Z/15Z; +) et (Z/10Z; +) x (Z/21Z; +).

oui , car pgcd(14,15)=1 et pgcd(10,21)=1
tout les element sont d 'ordre < ppcm(14,15)=210 de meme ppcm(10,20)=210

(b) (Z/14Z; +) x (Z/30Z; +) et (Z/10Z; +) x(Z/42Z; +).
oui  car pgcd(14,30)=2 et pgcd(10,42)=2
tout les élément sont d 'ordre < ppcm(14,30)=210 de meme ppcm(10,21)=210
(c) (Z/13Z \ {0}; .) et (Z=21Z \{0}; .).

le je ne sais pas comment procéder et vous pouvez dire si les autre sont correct comme justificatif

Posté par
GBZM
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 15:50

Bonjour,
Pour le a) il manque l'argument essentiel : c'est le nom d'un théorème (attribué à un pays). L'argument que tu donnes est erroné.
Pour le b) le même théorème peut servir
L'énoncé du c) est erroné.

Posté par
Roon
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 16:17

a et b d 'apres le th des reste chinois
le c ) (Z/13Z \ {0}; *) et (Z/21Z \{0}; *).

Posté par
GBZM
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 16:20

Tu as le théorème, mais il faudrait expliquer comment tu l'utilises !!!
L'énoncé du c) est toujours fautif : il y a un des bidules qui n'est pas un groupe. Vérifie, et donne-nous le vrai énoncé.

Posté par
Roon
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 16:53

l'enoncé du c

Posté par
Roon
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 16:54

l' enoncé du c

arithmetique grouope

Posté par
Roon
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 17:09

(Z/14Z; +) x(Z/15Z; +) et (Z/10Z; +) x (Z/21Z; +).
comme 14 et 15 sont premier entre eux et 10 et 21 sont premier entre eux , le th chinois donne
f: ((Z/14Z; +) x (Z/15Z; +) -> (Z/10Z; +) x (Z/21Z; +)
     a(mod14),a mod 15 -> ( a mod 10 , a mod 21)
f est un isomorphisme

Posté par
GBZM
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 17:57

C'est vraiment trop imprécis !
Que dit exactement le théorème chinois ?

Pour le c), je répète une nouvelle fois que \mathbb Z/21\mathbb Z\setminus \{ 0\} n'est pas un groupe multiplicatif. Vois-tu pourquoi ? Vois-tu comment corriger l'énoncé pour qu'il ait un sens (tu peux comparer avec les questions a) et b)) ?

Posté par
Roon
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 20:19



Tout d'abord, ces deux groupes ont des cardinalités différentes. Le groupe Z/13Z a une cardinalité de 13, et le groupe Z/21Z a une cardinalité de 21.
Or, deux groupes sont isomorphes s'ils ont la même cardinalité.

Posté par
GBZM
re : arithmetique grouope 08-01-23 à 23:30

Combien de fois faudra-t-il que je répète que \mathbb Z/21\mathbb Z \setminus \{0\} N'EST PAS UN GROUPE pour la multiplication ?
Je me suis embrouillé entre les différents fils que tu postes. Pour corriger l'énoncé afin qu'il ait un sens, je te conseille en fait de penser à l'autre problème avec Z/8\mathbb Z)^*.



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