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arithmétique maths spé
Bonjour!
J'ai un exercice en maths spécialité sur lequel je bloque complétement, j'ai un peu de mal avec l'arithmétique. Voici l'énoncé:
1) Supposons qu'il existe a et b entiers naturels tels que racine(2)=a/b. Démontrer que a/b ne peut pas être irréductible.
Ici je ne comprends pas trop... Je me suis dit que si a/b était irréductible, cela voudrait dire que a et b sont premiers entre eux. Mais je ne suis pas sure que ça nous aide à répondre à la question. Je ne sais pas trop quel raisonnement suivre.
2)a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2013^4 par 16.
J'ai tout d'abord remplacé par un nombre plus petit dans la congruence modulo 16:
2013 = 16*125+13
2013 
13 (16)
2013^413^4 (16)
13^4=16*1785+1 Mais je suis bloquée,je ne sais pas si mon raisonnement est bon. Je suis donc bloqué sur les deux autres parties de la question aussi du coup.
b) En déduire que 2013^80012013
c) On considère la suite définie sur N par
u0= 2013²-1 et u(n+1)= (un + 1)^5 -1
Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Un est divisible par 4.
Si vous pouviez m'aider je vous en serais extrêmement reconnaissante!
Bonsoir
1) , donc
n'est pas irréductible, et a^2 et b^2 ne sont pas premiers entre eux.
2) Ton raisonnement est bon, . Pour la b, remarque que 8001 = 4*2000+1. Pour la c), bah il faut faire une récurrence...
Bonsoir, merci de votre réponse!
1) Ah oui, dis comme ça, ça a l'air évident! Merci.
2)b) Je ne comprends pas bien. J'arrive comme la question précédente à 201313 (16) , puis à 2013^800113^8001.
13^8001 = 13^(1+4*2000) Je peux aussi l'écrire sous la forme 13^8001= 13*(13^4)^2000. Mais à partir de là, je ne sais pas comment déduire la réponse! :/
Oui, c'est bien ce que j'ai marqué au dessus non? Excusez moi si je me trompe, j'ai un peu de mal là!
Ahah merci, j'aurai aimé que ça me paraisse aussi évident dés le début!
Pour la récurrence: Soit Pn la propriété 4|(un+1)^5 + 1.
(2013²-1)/4=1013042, donc u0 est divisible par 4 et ainsi, Pn est vraie au premier rang. On suppose ensuite qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie. Montrons que Pn+1 est vraie.
Ici, il faudrait que je montre que 4|(Un+2 + 1)^5 - 1. J'imagine qu'il faut se servir des premières questions, mais étant donné qu'on n'a pas l'expression d'un en fonction de n, je ne vois pas trop comment faire! A moins que je me sois trompée, mais pour le montrer par récurrence, il me semble que je suis obligée de procéder comme ça!
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