Bonjour à tous et toutes, j'ai un DM de spé maths à faire mais je bloque sur ce dernier exercice (mes suppositions sont en bleu) :

P1 : Soit n un entier naturel pair.
1) Expliquer pourquoi n peut s'écrire sous la forme n=2k avec k un entier naturel
Pour que n soit un entier naturel pair, il faut que cet entier soit un multiple de 2, c'est pourquoi on peut écrire n=2k, avec k, un entier naturel. Ainsi, on obtiendra un nombre entier divisible par 2 et dont le chiffre des unités sera 0, 2, 4, 6 ou 8.
2) Montrer que n² est pair
n=2k
n²=(2k)²=4k²=2(2k²)
n² s'écrit sous la forme 2k avec k entier, donc n² est pair.
3) Montrer que n² est divisible par 4

P2 : Soit n un entier naturel impair.
1) Expliquer pourquoi n peut s'écrire sous la forme n=2k+1 avec k un entier naturel
Pour que n soit un entier naturel impair, il faut que cet entier ne soit pas un multiple de 2. Si 2k+1 était pair, cela signifierait qu'il existe un entier a tel que 2k+1=2a , donc 2a-2k=1, donc 2(a-k)=1.
Or, a-k=, la différence entre 2 nombres entiers  ne peut pas être donc 2k+1 ne peut pas être pair mais impair.
2) Montrer que n² est impair
n=2k+1
n²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1, puisque 2k² + 2k est un entier, alors n² est impair.
3) Montrer que n²-1 est divisible par 4
4) Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair
5) Montrer que n²-1 est divisible par 8

P3 : Démonstration par l'absurde : Supposons qu'il existe une fraction irréductible égale à , c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels a et b tels que =.
1) Montrer que a²=2b². En déduire que a est pair. Comment peut-on donc écrire a ?
2) Montrer que b est pair.
3) Quelle conclusion peut-on en tirer ?


J'ai un peu de mal avec les questions concernant la divisibilité. Merci à ceux qui pourront m'aiguillier un peu !