Salut à tous !
J'ai un petit problème à faire et c'est sur une leçon où je bloque déjà un peu... en bref j'ai du mal
Voilà donc si vous pouviez me filer un petit coup de main ça ne serait vraiment pas de refus !
Enoncé :
1) Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que PGCD (a+b ; ab) = p, où p est un nombre premier
a)démontrer que p divise a² (on remarquera que a² = a(a+b)-ab)
b)En déduire que p divise a
On constate donc de même que p divise b
c)Démontrer que PGCD (a;b) = p
2) On désigne par a et b des entiers naturels tels que a < ou égal à b
a) Résoudre le système :
PGCD (a;b) = 5
PPCM (a;b) = 170
b)En déduire les solutions du système :
PGCD (a+b ; ab) = 5
PPCM (a;b) = 170
En espérant avoir été assez clair !
Je vous remercie d'avance !
Salut
1)a)Comme il te l'ai signalé,a²=a(a+b)-ab
étant donné que p divise a+b et p divise ab il divise a²
en effet p divise toute combinaison linéaire de ab et de a+b
b)
Si p divise a², il apparait dans la décomposition en nombre premier de a²
p est premier donc si p divise ab p divise a ou p divise b, dans ce cas précis, p divise a² donc p divise a
De la même manière tu obtiens p divise b
Donc p divise le pgcd(a,b)
Or si m=pgcd(ab), m divise a+b et m divise ab donc m divise leur pgcd qui est p
Ainsi p est pgcd(a,b)
2)On sait que pgcd*ppcm=ab
donc ab=5*170
170=5*17*2
Ainsi comme solution tu as a=5*17 et b=5*2 et vice versa ou a=5*17*2 et b=5 et vice versa
En effet tu veux que le plus grand diviseur de a et de b soit 5, donc tu mets 5 dans la decomposition de a et de b, ensuite tu veux que le produit de a et bsoit égal à 170 il te faut donc répartir les diviseurs de 170 autre que 5 entre a et b
3) tu as les même solution car pgcd(a+b,ab)=pgcd(a,b) d'après 1
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