Bonjour,

S'il existe vérifiant cette propriété.
Alors on a deux entiers, et , tels que et

Tu vois donc que tu peux exprimer de deux manières.
Tu as donc = expression1 et = expression2
Donc expression1 = expression2

Vois-tu une contradiction ?

Merci pour votre réponse !

J'obtiens n=12k₀+3 et n=15k₁+2
Et donc 12k₀+3=15k₁+2
12k₀+1=15k₁

En soit, ça paraît évident que les expressions ne sont pas égales
- tous les multiples de 15 qui sont pairs ne seront pas égaux à 12k+1
Mais je ne vois pas comment justifier pour le reste des cas et d'ailleurs je ne sais même pas si c'est cette justification qui est attendu ou s'il faut trouver un lien avec le théorème....

A partir de la dernière égalité, tu peux écrire 1 = ...

Par le théorème de Bézout, tu obtiens une contradiction (en sachant que le pgcd de 15 et 12 vaut 3)

Aaaah!
Donc si j'ai bien compris
-a et b valent 12 et 15
-u et v valent k₀ et k₁
Et si l'hypothèse avait été juste, d aurait pour valeur 3 dans au+bv=d

Mais comme ici d vaut 1 et pas 3 est ce que ça implique nécessairement qu'un des 2 nombres de départ n'est pas entier ?

Si l'hypothèse avait été juste... on pourrait en conclure n'importe quoi, puisqu'on montre qu'elle est fausse

Tu as écrit une égalité de la forme au + bv = 1 (avec des entiers)
Donc le théorème de Bézout te dit que a et b sont premiers entre eux.
Or a = 12 et b =15, qui ne sont donc pas premiers entre eux. Contradiction.

La seule hypothèse qu'on avait faite est qu'il existe un entier vérifiant la condition.

Conclusion : il n'existe pas d'entier vérifiant la condition.

D'accord, je vois.
Merci beaucoup pour votre aide !!

Bonjour,
Mon petit grain de sel :
Le théorème de Bezout me semble inutile ici. Un peu marteau piqueur pour écraser une mouche...
A partir de n = 12k₀+3 et n = 15k₁+2 , on trouve
15k₁ - 12k₀ = 1 puis 3(5k₁ - 4k₀) = 1 .
Or 1 n'est pas un multiple de 3