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Arithmétiques aïe, aïe !!!
Bonjour a tous je cherche desepérement la solution d'un exo
sachant que de mon côté ça ne progresse pas, j'espère pouvoir
trouver aide chez l'un d'entre vous.
Voici l'auteur de mes misères:
On cherche le plus petit entier n différent de 0 tel que 3n soit carré
et 5n un cube. Soit donc a et b (a supérieur à 1 et b supérieur aussi
à1)
3n = a au carré et 5n = b au cube
1)montrer que 3 et 5 au carré divise n
2)En déduire que 3 au cube divise 5n
3)Conclure
Merci de m'aider ou tout du moins a comprendre ce qu'on attend
de moi sur cet exercice !!!
cette solution repose sur une conséquence de Gauss :
"si p premier divise a^n, alors p divise a". Il faut que t'as vu
ce théorème ( ou cuici "si p premier divise a*b, alors p divise
a ou dvise b " ).sinon...ya ptet une autre méthod avec la décompen
prod de fact premier.
1) 3n=a*a, 3 est premier donc 3 divise a, donc a=3k
donc 3n=9k², n=3k², donc 3 divise n.
5n=b*b*b, 5 est premier donc 5 divise b, donc b=5k'
donc 5n=125k'², n=25k'², donc 25 divise n
2)puisque 3 et 5² premiers entre eux divisent n, alors 3*5² divise n donc 3*5^3
divise 5n
soit 3*5^3 divise b^3,donc 3 divise b^3, or 3 est premier donc 3 divise
b, donc 3^3 divise b^3 c'est à dire divise 5n.
3) 5n doit donc etr divisible par 27 et par 125 premier entre eux donc
par 27*125 c'est à dire par 3375.
donc n doit être divisible par 675.
le plus petit entier cherché est donc 675.
J'le trouve bien chaud après 5 sem d'arithmétik. T'es dans un
bahut de gross cales?
Alors la je crois pas, un simple bahut de la banlieue parisienne
seine saint denis pour etre précis !!!
Sinon la conséquence de Gauss on a pas vu.
Vraiment un grand merci pour ton aide.
You're are The Best !! De ce coté ya rien a dire !!!
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