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Arithmétiques, congruence / division euclidienne

Posté par
steph24
18-11-09 à 17:09

Bonjour, j'ai un petit souci avec un exercice de math spé dont voilà l'énoncé :

Soit n=2a*3b où a et b sont des naturels
a) Déterminer le nombre de diviseurs dans N de n
b) Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n

Pour le a) je pense qu'il faut utiliser les congruences car sa nous aide pour résoudre les problèmes de divisions euclidienne mais vu qu'on a juste commencer j'ai pas vraiment l'expèrience ...

Si vous pouviez m'aider sa serait gentil
Merci d'avance

Posté par
say
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 18-11-09 à 17:38

Bonjour ,
Je suis moi aussi en spé maths ,
il faut deja savoir que le nombre de diviseur de 2^a 3^b est : (a+1)(b+1)
produit des exposants + 1

Cherches ensuite le nombre de diviseur de 12n , et tu devras avoir une équation , sans oublier le facteur 2.

sauf erreur , ça me semble un bon départ.

Posté par
Youpi
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 18-11-09 à 17:40

2 et 3 étant premiers:.

il a "a+1" diviseurs possibles de la forme 2k (où k est un entier naturel en comptant le ca k=0)et "b+1" diviseurs possibles de la forme 3k.

donc en tout il y a (a+1)*(b+1) diviseurs de n

12n possède donc 2*(a+1)*(b+1) diviseurs et comme 12n=22*3*2a*3b=2a+2*3b+1

on en conclut que le nombre de diviseur de 12n est également (a+3)(b+2)

ainsi (a+3)(b+2)=2(a+1)(b+1)

<=> ab+3b+2a+6=2ab+2a+2b+2
<=> ab-b-4=0 <=> b(a-1)=4  

donc soit b=1 et a=5 et alors n=96
ou b=2 et a=3 et alors n=72
ou b=4 et a=2 et alors n=324

sauf erreur il y a 3 cas possibles

Posté par
say
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 18-11-09 à 18:07

Bonjour Youpi ,
Ça me rassures de voir mon idée confirmée , j'aurais pas voulu l'induire en erreur, jolie redaction
En effet je pense pas plus de 3 cas possibles.

Posté par
steph24
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 18-11-09 à 18:30

Merci pour vos réponses, j'essaye sa et je vous tiens au courant ! Merci encore

Posté par
steph24
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 24-11-09 à 10:44

Bonjour, pouvez-vous m'expliquer comment vous obtenez les 3 cas ?
Sinon le reste j'ai tout compris merci beaucoup

Posté par
say
re : Arithmétiques, congruence / division euclidienne 24-11-09 à 18:23

Bonjour ,
si tu obtiens bien l'equation b(a-1)=4  ,or 4=4x1 ou 4=2x2 ou 4=1x4
il existe que 3 cas possibles , b=4 et a-1=1 <=>b=4 et a=2
b=2 et a-1=2 <=> b=2 et a=3
b=1 et a-1=4<=> b=1 et a=5
(équivalence pas vraiment réspectée mais l'ideé est la )

De toute façon Youpi a parfaitement expliquer le raisonement , je ne fais que redire ce qui est dit ...



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