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arithmrtique congruences

Posté par
aya4545 01-06-22 à 17:50

bonjour
priere m aider a depasser ce blocage
1)resoudre dans \Z^2 E: 4x-5y=1
2) en deduire l ensemble de solution du systeme
S: x\equiv 3 (5)    et    x\equiv 2 (4)
3) on pose a=4n+3   et b=3n+1 n entier  naturel  montrer
a \wedge b= (n+2)\wedge 5 puis deduire les entiers naturels n pour les quelles   a\wedge b =5
4) montrer que 2^a+3^b\equiv 0 (5)  \iff  2^{a+b} \equiv  0 (5)
*Modération >Énoncé rectifié plus loin avec  2^{a+b} \equiv  4 (5) au lieu de 2^{a+b} \equiv  0 (5) *
5)determiner le plus petit entier naturel n tel que (S'):n\geq 2018   et     2^a+3^b\equiv 0 (5)  et  a\wedge b =5
6) soit p premier \geq 5 montrer que
2^a+3^b\equiv 0 (p)  \iff p=5

ce que j ai fait
1) il suffit de remarquer que (-1,-1)solution particuliere
S={(-1+4k ,-1+5k)/k \in \Z}

2) (x\equiv 3 (5)    et    x\equiv 2 (4)) \iff  (x=3+5k  et x\equiv 2 (4))  \iff  (3+5k \equiv 2 (4) et x=3+5k )  \implies x\equiv 18 (20)   
reciproquement on verifie facilement que  si x\equiv 18 (20)
alors  x verifie le systeme S

3) facile à utiliser   a \wedge  b= b \wedge r   avec  a=bq+r
a\wedge b=5  \iff n \equiv 3 (5)

je bloque dans 4)
et merci

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:11

j ai fait la premiere implication (directe)

Posté par
carpediemre : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:15

salut

2/ tu ne déduis pas de 1/ !!

x = 3 + 5p et x = 2 + 4q <=> 4q - 5p = 1 et là on peut utiliser 1/ ...

3/ ouais mais bof ... et tu ne réponds pas à la question complètement ...

si d divise a = 4n + 3 et b = 3n + 1 alors d divise toute combinaison linéaire de a et b et en particulier a - b = ... et 3a - 4b = ...

4/ je ne comprends pas trop non plus ...

les exposants a et b sont-ils les a et b de la question 3/ ??

auquel cas si n est naturel alors a et b sont supérieurs à 1 ...

si la question est indépendante alors 2^a + 3^b \equiv 2^a + (-2)^b  [5]

l'équivalence est alors immédiate (je te laisse finir)

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:38

directe
montrons que 2^{4n+3+3n+1}\equiv 4 (5)
ona 2^{4n+3+3n+1}= 2^{4n+3} \times 2^{3n+1}=2^{3n+1}(2^{4n+3} +3^{3n+1} )_{\equiv 0(5)}- 6^{3n+1}\equiv -1 (5)

Posté par
larrechre : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:44

Bonjour,

Cette question 4/ me paraît suspecte.

Si on suppose que 2^a+3^b\equiv 0 (5), en multipliant pa 2^b, on obtient 2^{a+b}+6^b\equiv0(5) qui me semble difficilement compatible avec ce qu'on veut démontrer.

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:48

mercicarpediem
effectivement j ai resolu 2) independement de 1) merci pour cette remarque
les a et b sont celles de  3)
ormis votre remarque 2^a + 3^b \equiv 2^a + (-2)^b  [5]  est pertinente  

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:53

merci larrech

Posté par
carpediemre : arithmrtique congruences 01-06-22 à 18:58

ne serait-ce pas plutôt   2^a + 3^b \equiv 0  [5] \iff a + b \equiv 0  [5]

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:01

2^{a+b}+6^b\equiv0(5)  \implies 2^{a+b} \equiv  -1 \equiv 4 (5) effectivementlarrech une erreur dans l ennoncé que je corrige
montrez  que 2^a+3^b\equiv 0 (5)  \iff  2^{a+b} \equiv  4 (5)

Posté par
carpediemre : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:05

bon je reprends ...

avec a = 4n + 3 et b = 3n + 1 alors

2^a + 3^b \equiv 3 \times 1^n + 3 \times 2^n  [5]

...

de toute façon l'égalité 2^{a + b} \equiv 0  [5] est évidemment fausse ...

carpediem @ 01-06-2022 à 18:58

ne serait-ce pas plutôt   2^a + 3^b \equiv 0  [5] \iff a + b \equiv 0  [5]

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:17

2^a+3^b\equiv 0 (5)  \iff  2^b (2^a+3^b)\equiv 0 (5)car
(2\wedge 5=2^b \wedge 5=1)

\iff 2^{a+b} +6^b  \equiv 0 (5) \iff 2^{a+b} \equiv -1\equiv 4 (5)

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:19

bonjour carpediem j ai corrigé l ennoncé de l exercice à 19h 01

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:22

donc  la question  4) est independante de la question 3)

Posté par
co11re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:29

Bonsoir,

je reviens au 1) : il me semble que aya4545 a interverti 4 et 5 non ?
Les solutions sont de la forme ( - 1 + 5k ; - 1 + 4k ) avec k entier

Le 2) me parait un peu rapide, en tout cas la fin.
Et avec mon 1) je trouve : x = 2 (20)  .... à vérifier

Je n'ai pas regardé la suite pour l'instant

Posté par
aya4545re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:44

bonjour et merci co11
effectivement  Les solutions sont de la forme ( - 1 + 5k ; - 1 + 4k ) avec k entier
pour la resolution du systeme (S')

ona d apres 3) a\wedge b=5  \iff n \equiv 3 (5)

donc il reste a prouver
    2^a+3^b\equiv 0 (5) \iff  n\equiv 2(4)   pour montrer que
que S et S' sont equivalents

Posté par
co11re : arithmrtique congruences 01-06-22 à 19:51

Pour la 3)

Citation :
3) facile à utiliser   pgcd(a, b) = pgcd(a, r)    avec  a=bq+r

Pourquoi pas mais il faut le détailler à mon avis.

Et ça vaut peut-être le coup de regarder aussi  la proposition de carpediem à 18h15 qui utilise un argument  simple, facile à retenir, utilisé d'ailleurs pour prouver la propriété que tu utilises

Posté par
lakere : arithmrtique congruences 02-06-22 à 18:52

Bonjour,

J'ai quelques doutes sur la question 6) :

  

Citation :
6) soit p premier \geq 5 montrer que
2^a+3^b\equiv 0 (p)  \iff p=5


  1) La question n'est pas claire : il manque des quantificateurs. Au vu de ce qui précède, je la reformulerai ainsi :

  
Citation :
6) a=4n+3 et b=n+1

Soir p premier supérieur ou égal à 5.
   Montrer que :

   Il existe n \in \mathbb{N} tel que 2^a+3^b\equiv 0\;\;[p] \Longleftrightarrow p=5


2) Auquel cas, une démonstration consisterait (pour le sens direct de l'équivalence)  à montrer que si p premier est supérieur ou égal à 7, pour tout n\in\mathbb{N},  p ne divise pas 2^a+3^b

Ce qui est faux : on peut prouver rapidement avec le petit théorème de Fermat que si  n=10, 2^a+2^b=2^{43}+3^{31}\equiv 0\;\;[11]

J'ai peut-être fait une faute de logique/raisonnement.
Merci de confirmer ou d'infirmer
  

Posté par
lakere : arithmrtique congruences 02-06-22 à 19:02

Je rectifie deux fautes :

  

Citation :
... je la reformulerais ainsi :


et bien sûr b={\red 3}n+1

Posté par
lakere : arithmrtique congruences 03-06-22 à 11:19

Je viens de m'apercevoir qu'il y a mieux :

Pour tout   n\in\mathbb{N} ,  2^{4n+3}+3^{3n+1} est multiple de 11.

Posté par
lakere : arithmrtique congruences 03-06-22 à 18:28

Bien que prêchant dans le désert, j'ose insister. Une question 6) pertinente serait :

  

Citation :
a=4n+3 et b=3n+1

   Soir p premier supérieur ou égal à 5.
   Montrer que :

   Pour tout n \in \mathbb{N},    2^a+3^b\equiv 0\;\;[p] \Longleftrightarrow p={\red 11}


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