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Astuce pour n-parallélotope

Posté par amethyste 16-02-20 à 17:16

Astuce pour n-parallélotope

Salut

je propose cette astuce pour détailler les sommets d'un n-parallélotope

ceci dit cela ne veux pas dire qu'on ne puisse pas faire encore plus simple

et ça m'étonnerai pas vu que … bon bref

Soit $\left(E_0,...,E_n\right)$ une base affine d'un Espace affine à n>0 dimension

donc du coup $E_0E_2...E_n$ est un n-simplexe

1)exprimer les coordonnées barycentriques normalisées (cbn en abrégé pour la suite du propos) des sommets $A_i$ d'un n-parallélotope par rapport à cette base affine

et tels que tous les sommets du n-simplexe sont aussi des sommets de ce n-parallélotope

2)exprimer les sommets comme combinaison linéraire des points de la base affine

3)sans énumerer toutes les arêtes du n-parallélotope en déduire deux qui soient parallèles et démontrez-le

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bon je vais pas plus loin :

pour le point 3) on va pas s'embêter à les énumerer (si on sait comment les trouver un exemple suffit)

et puis pour remonter jusqu'aux "facettes" de dimension n-1  c'est franchement pas la mort

bon alors pour que la lecture soit plus cool et éviter de saouler les gens

je vais prendre un exemple sur un 4-parallélotope mais vu la simplicité du "machin"

ça pose aucun problème pour le généraliser

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$\left(1:0:0:0:0\right)$ cbn de $E_0$

$\left(0:1:0:0:0\right)$ cbn de $E_1$

$\left(0:0:1:0:0\right)$ cbn de $E_2$

$\left(0:0:0:1:0\right)$ cbn de $E_3$

$\left(0:0:0:0:1\right)$ cbn de $E_3$

on dresse la "table" des nombres entiers de zero à $2^n=2^4=16$ en base deux

en laissant une place à la gauche du dernier chiffre (en comptant depuis la droite)

bon là pour la visibilité j'ai écrit ça en matrice mais c'est juste esthétique (mon propos n'a rien à voir avec les matrices)

$\begin {pmatrix}00000\\00001\\00010\\00011\\00100\\00101\\00110\\00111\\01000\\01001\\01010\\01011\\01100\\01101\\01110\\01111\end {pmatrix}$

bon et on va procéder comme décrit ci-dessous pour chaque sommet $A_i$

je prend un exemple ci-dessous et il suffit juste de le faire pour tous les   $2^n=16$ sommets du 4-parallélotope

par exemple en prenant le sommet $A_{15}$

15 en base deux c'est donc 0111 et le dernier chiffre à gauche (zero) bah il suffit de le remplacer

pour que la somme des chiffres du nombre 15 en base deux fasse l'unité

du coup $\left(-3:1:1:1:1\right)$ cbn de $A_{15}$

en faisant comme ça évidemment $\left(1:0:0:0:0\right)$ cbn de $A_{0}$

bah c'est pas la mort finalement (en fait je me disais dans quelle gallère que je me suis encore fourré )

bon après pour le point 2 ça va vite

$A_{0}=E_0$

$A_{1}=E_4$

$A_{2}=E_3$

$A_{3}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_3}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{4}=E_2$

$A_{5}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{6}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_3}$

$A_{7}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_3}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{8}=E_1$

$A_{9}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{10}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_3}$

$A_{11}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_3}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{12}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_2}$

$A_{13}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_4}$

$A_{14}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_3}$

$A_{15}=E_{0}+\overrightarrow {E_0E_1}+\overrightarrow {E_0E_2}+\overrightarrow {E_0E_3}+\overrightarrow {E_0E_4}$

bon alors le point 3)

j'ai pris cet exemple ci-dessous mais en fait tous les autres sont aussi simples(environ)

démontrer par exemple que

$\left[A_2A_3\right]$ et $\left[A_0A_1\right]$ sont parallèles

donc démontrer que

$\langle \overrightarrow {A_2A_3}|\overrightarrow {A_2A_3}\rangle \langle \overrightarrow {A_0A_1}|\overrightarrow {A_0A_1}\rangle -\langle \overrightarrow {A_2A_3}|\overrightarrow {A_0A_1}\rangle ^2=0$

$\langle \overrightarrow {E_3A_3}|\overrightarrow {E_3A_3}\rangle \langle \overrightarrow {E_0E_4}|\overrightarrow {E_0E_4}\rangle -\langle \overrightarrow {E_3A_3}|\overrightarrow {E_0E_4}\rangle ^2=0$

$\overrightarrow {E_3A_3}=A_3-E_3=-E_0+E_3+E_4-E_3=E_4-E_0=\overrightarrow {E_0E_4}$

$\langle \overrightarrow {E_0E_4}|\overrightarrow {E_0E_4}\rangle \langle \overrightarrow {E_0E_4}|\overrightarrow {E_0E_4}\rangle -\langle \overrightarrow {E_0E_4}|\overrightarrow {E_0E_4}\rangle ^2=0$