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Atypique, saut de viète ?

Posté par
FerreSucre 29-05-23 à 17:05

Bonjour ! Voilà quelques jours que je bloque sur un exercice que quelqu?un a donné : Et les personnes qui m?ont aidé ont tous fini par ne plus me répondre ou être complètement bloqué. Ceci dit y?a eu quelques avancées :

Soit (x_1,x_2,?..,x_n) \in \N^n et \alpha \in \N, \alpha > n

Montrer que la seule famille qui vérifie :

\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = \alpha \prod_{i=1}^{n}x_i

Est (0,0,0,?.,0). Avec n \geq 2.
Et n un entier naturel évidemment.

Donc pour résumer, quelqu?un a proposé le saut de viète que je ne connaissais pas, j?ai donc découvert et on a commencé comme ceci avec toutes les personnes qui m?ont aidées :

Rangeons (x_1,x_2,?x_n) dans l?ordre croissant sans perte de généralité. Et supposons qu?il existe un n-uplet vérifiant l?égalité.
Alors on trouve qu?avec :
a = x_1² + x_2² +?+x_{n-1}²
b = x_1x_2?.x_{n-1}

x_n²-\alpha b x_n + a = 0

Donc x_n est solution de cette équation du second degré. Notons y_n cette deuxième solution, on trouve que y_n est bien un entier naturel grâce aux relations coefficient racine. Ensuite le discriminant de ce polynôme vaut :

\Delta = (\alpha b)²-4a

On a réussi à montrer que ce discriminant était strictement positif, car nécessairement les x_i sont non nuls. Donc on a fait le raisonnement par récurrence suivant :
Soit (x_1,x_2,?x_{n-1}) vérifiant le discriminant strictement positif alors montrons que le n-1-uplet  (x_1,x_2,?,x_{n-1} + 1) le vérifie toujours ! (On trouve que oui assez facilement) et on initialise avec (1,1,1?.,1). Ainsi en permutant les variables on peut construire n?importe quel n-uplet de N*^{n-1}.

Donc on a montré qu?il existe deux racines distinctes, x_n et y_n du polynôme en question.

Et là on bloque.
L?idée (pour moi) serait de montrer que y_n < x_n obligatoirement car sinon cela contredirait le rangement en ordre croissant.
Ainsi si y_n < x_n et que ducoup y_n < x_{n-1} alors on peut réitérer à l?infini le processus et conclure que c?est absurde et que seul (0,0,?,0) est solution.

Merci d?avance ?

malou edit > déplacé dans le forum détente

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 29-05-23 à 21:55

On a fini par avoir la réponse sur un autre forum ! Donc pas besoin d'y répondre, sauf si vous avez une autre démonstration sans le saut de viete, je serai fortement preneur !

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 29-05-23 à 22:37

Bonjour,

voici ce que j'ai essayé, sans pouvoir terminer,sauf erreur de ma part :
\sum_{i=1}^n x_i^2=\alpha \prod_{i=1}^n x_i

\sum_{i=1}^n x_i^2-\alpha \prod_{i=1}^n x_i =0

1<p<n, on peut écrire

x_p^2(\dfrac{\sum_{i=1,i<>p}^n x_i^2}{x_p^2}+1)- x_p\alpha \prod_{i=1,i<>p}^n x_i =0


x_p (x_p(\dfrac{\sum_{i=1,i<>p}^n x_i^2}{x_p^2}+1)- \alpha \prod_{i=1,i<>p}^n x_i )=0

soit
x_p=0

soit
x_p= \alpha \dfrac {\prod_{i=1,i<>p}^n x_i } {\dfrac{\sum_{i=1,i<>p}^n x_i^2}{x_p^2}+1}

xp est un nombre entier et
\alpha est un nombre entier.

donc

y= \dfrac {\prod_{i=1,i<>p}^n x_i } {\dfrac{\sum_{i=1,i<>p}^n x_i^2}{x_p^2}+1}
doit être un nombre entier , sinon c'est que la seule solution est xp=0. Mais je n'arrive pas à démontrer que y n'est pas un nombre entier. Peut-être vous ou un autre intervenant saura le faire. A moins que mon raisonnement ne soit faux, toujours possible.

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 29-05-23 à 22:38

Tant mieux. Je rédigeais mon poste et je n'ai pas vu votre réponse.

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 09:53

phyelec78 merci quand même pour ta réponse ! Oui le saut de viete à fonctionner, enfaite il suffisait bêtement de calculer le polynôme trouvé avec x = x_{n-1}, et après deux manipulations on trouve que P(x_{n-1}) < 0 ce qui permet de conclure … fallait voir l'idée pour trouver que c'était < 0 parcontre, mais exo intéressant !

Et de toute façon j'étais pas contre voir une autre méthode de résolution pour l'exercice, donc si jamais t'arrives à conclure je suis preneur sinon tant pis, je ne sais pas si il est vraiment faisable avec des outils légers en dehors du saut de viete..

Bonne journée !

Posté par
larrechre : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 10:22

Bonjour FerreSucre,

Viète, avec un V majuscule !!   

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 10:33

Roooh haha, j'espère que tu sauras me le pardonner !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 11:28

Bonjour,
Que diriez-vous de déplacer ce sujet dans le forum détente ?
Il pourrait attirer d'autres intervenants avec de nouvelles idées

Posté par
FerreSucreAutre méthode ? 30-05-23 à 14:54

Bonjour on m'a conseillé de déplacer le sujet ici, ne sachant pas comment faire j'en ai créé un nouveau ! Ça faisait quelques jours que je bloquais dessus avec quelques personnes mais on a enfin eu la démonstration qui n'était pas si difficile avec le saut de Viète ou il fallait quand même réussir à conclure…

Je me demandais si d'autres méthodes de résolutions étaient possibles ?

Voici l'exercice :

Soit (x_1,x_2,…..,x_n) \in \N^n et \alpha \in \N, \alpha > n

Montrer que la seule famille qui vérifie :

\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = \alpha \prod_{i=1}^{n}x_i

Est (0,0,0,….,0). Avec n \geq 2.
Et n un entier naturel évidemment.

Si jamais quelqu'un a des idées allez-y !

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 18:30

salut

je ne suis pas intervenu car ne voyant pas trop comment faire ...
non plus simplement pour te remercier pour ma culture car je ne connaissais pas le saut de Viète
non plus simplement pour la MAJUSCULE aussi

mais par contre (avec l'accord des modérateurs bien sûr) il me semble qu'il serait intéressant d'avoir un lien vers

FerreSucre @ 29-05-2023 à 21:55

On a fini par avoir la réponse sur un autre forum !
afin d'avoir une réponse ...

pour ma part j'étais parti sur une vision statistique en écrivant :

\sum_1^n x_i^2 = a \prod_1^n x_i \iff \dfrac 1 n \sum_1^n x_i^2 - \left( \dfrac 1 n \sum_1^n x_i \right)^2 = \dfrac a n \left( \sqrt [n] {\prod_1^n x_i} \right)^n - \left( \dfrac 1 n \sum_1^n x_i \right)^2 \iff V = \dfrac a n g^n - m^2

où m, g et V désignent les moyennes arithmétique et géométrique et la variance de la série des x_i

le premier membre est positif évidemment ... mais qu'en est-il du second ?

(je ne sais pas !! )

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 18:50

Mhh alors un lien ça va être compliqué, étant donné que c'était sur discord.. et que c'est que du brouillon mais l'idée était au final simplement de remarquer que le polynôme évalué en x(n-1) est strictement negatif ainsi, xn est alors la solution la plus grande et on peut choisir yn l'autre solution avec donc yn < x(n-1) et donc réitérer à l'infini le processus mais après je ne sais pas ce que tu veux voir dans cette résolution 😅

Ceci dit d'accord pour ce que tu as fais ! Mais on peut en déduire quelque chose au final ou pas ? ^^

Posté par
carpediemre : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 19:28

je ne sais pas !!  

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 22:07

Je continue un peu. Pour démontrer qu'on ne trouve pas de valeur pour xp=\alpha y. Sauf erreur de ma part, voici mes calculs.
on peut enlever le cas tous les xi valent 1, car on aurait
n=\alpha et  on sait que \alpha > 1

J'ai écris y doit être un entier :  le "doit" est faux. Si y est un entier cela fonctionne.
C'est le produit \alpha y qui doit être un entier.  

en réaménageant y on a :

y=\dfrac{\prod_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2 +x_p^2}

soit :

y=\dfrac1{\alpha}\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2 +x_p^2}


soit

\alpha y=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2 +x_p^2} <1

contradiction avec le fait que xp=\alpha y est un entier.

donc xp=0

donc \sum_{i=1}^n x_i^2=\alpha\prod_{i=1}^n x_i}=0

donc x_1=x_2=.......=xi=xn=0

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 30-05-23 à 22:08

erratum : au début lire on sait que \alpha >n

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 00:24

Carpediem ah j'en ai aucune idée moi je ne m'y connais pas en moyenne géométrique, aucune idée de ce qu'on pourrait faire après ça Faudrait réussir à montrer que pour tout entier, a/n*g^n - m² < 0 pour (x1,x2,….xn) € N*^n.
Seul soucis c'est que (1,1,1…1) donne > 0 … donc ?

Et phyelec je ne comprends pas ce que tu as fais, y'a des produits qui deviennent des sommes je vois flou :/ c'est normal ?

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 00:29

Ah non j'ai compris mais y'a une erreur non ?

C'est pas plutôt :

y=\dfrac{(\prod_{i=1}^n x_i ) \times x_p^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2 +x_p^2}

Quand tu es passé de ton message de cet après-midi au dernier de ce soir ?

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 12:02

oui, c'est inexacte, en fait on a ( si je ne suis pas pris les pieds dans le tapis en faisant les calculs):

y=\dfrac{(\prod_{i=1,i<>p}^n x_i)x_p^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2+x_p^2}

soit

y=x_p\dfrac{\prod_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2+x_p^2}

soit comme x_p=y\alpha

on a

1=\alpha\dfrac{\prod_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2+x_p^2}

donc

\alpha=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i^2+x_p^2}{\prod_{i=1}^n x_i}


ce qui est faux car , d'après l'énoncé :

\alpha=\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{\prod_{i=1}^n x_i}

Donc xp=0.

Posté par
FerreSucrere : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 17:29

Y'a encore quelques choses qui me gêne je pense, c'est qu'à aucun moment on fait intervenir xi comme étant un entier. Le résultat que tu as donné, ça dit carrément que pour xi€R la seule solution est (0,0…0) ce qui est faux non ? Ou je rate quelque chose..

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 21:39

au final je conclus  xp=0,

donc

\sum_{i=1}^n x_i^2=\prod_{i=1}^n x_i}=0

\sum_{i=1}^n x_i^2=0 est la somme de carrés de nombre qui appartiennent à N donc tous positifs ou nuls, la solution est que tous les xi sont nuls.

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 21:42

je suis d'accord si les xi appartiennent à R cela marche. Je vais réfléchir un peu.

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 21:44

Si les xi appartiennent à R alors \apha n'est pas forcément dans N , d'après l'énoncé.

Posté par
phyelec78re : Atypique, saut de viète ? 31-05-23 à 21:47

erratum : Si les xi appartiennent à R alors \alpha n'est pas forcément dans N , et cela est incompatible avec l'énoncé.


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