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au secours ..blocage ac les suites et complexes
Dans ce probleme , on note S le nombre complexe cos2pi/5+isin2pi/5
pour le début de l'exercice je n'ai pas eu vraiment de problème
mais là je coince vraiment je vais donc recapituler ce que j'ai
deja prouvé
on pose pour tt entier naturel n, Sn=S^n et Pn son point d'affixe
j'ai donc determiner les modules et arg de S1,S2,S3,S4etS5 j'en ai
déduit que S,S²,S^3et S^4st solutions de Z^5-1=0
je suis bloquée a partir de là:soit Z un nb complexe
1-dev et simplifier (Z-S)(Z-S²)(Z-S^3)(Z-S^4)
en déduire les solutions de l'equationZ^4+Z^3+Z²+1=0
2-dev les produits(Z-S)(Z-S^4) et (Z-S²)(Z-S^3)
en deduire qu'il existe 2 réels AetB tels que
Z^4+Z^3+Z²+1=(Z²+AZ+1)(Z²+BZ+1)
calculer AetB et S
voila j'espere que vous pourrez m'aider merci
On developpe:
(Z-s)(Z-s^2)(Z-s^3)(Z-s^4)=
(Z^2-Zs^2-Zs+s^3)(Z^2-Zs^3-Zs^4+s^7)=
Z^4-Z^3s^3-Z^3s^4+Z^2s^7-Z^3s^2+Z^2s^5+Z^2s^6-Zs^9-Z^3s+Z^2s^4+Z^2s^5-Zs^8+Z^2s^3-Zs^6-Zs^7+s^10
ouf!
La Grosse astuce poiur simplifier est la suivante
comme tu as s^5-1=0 (par definition) ca te donne
s^5=1
et surtout si on multiplie par s
s^6=s
s^7=s^2
s^8=s^3
s^9=s^4
s^10=s^5=1
en fait toutes les puissances de s se ramenent a des puisssnace sentre
0 et 4 ....
tu remplace dans l'expression et ca va se simplifier!!
l'equation z^4+z^3+z^=2+z+1=0 est nul si un des facteurs est nul ca donne
Z=s ou z=s^2 ou z=s^3 ou z=s^4
voila pour le dbut le reste c pareil en utilisant le fait maintenant que
s^4+s^3+s^2+s+1=0 !!
voila
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