Tu n'as pas montré que fa est un homomorphisme
Tu as juste montré l'injectivité de fa, et encore pas sûr que tu aies vraiment compris comment ça marche, pas convaincu par ta dernière implication

Comment est-ce que je devrais faire ?

Bah montrer que f(nn') = f(n)f(n')...

on a :

C'est mieux

Tu n'as pas montré que fa est bijectif, mais seulement injectif dans la 1)

Pour la 2 c'est n'importe quoi

Donc f_a est bijective.

2) Comment je devrais faire ?

Déjà parlons de AutG.

On va reprendre à zéro. Quel est son élément neutre? Comment montrer que AutG est un groupe?

On a :

Donc l'élément neutre de est a.

La loi de composition est stable par

Pour montrer que est un groupe on montre que :

* est associative

*   admet un élément neutre.

* Tout élément de   est inversible par la loi de composition .

L'élément neutre de AutG est a???
Mais c'est quoi a? a est un élément de G pas de AutG...

L'élément neutre de AutG est l'application identité Idp

oui.

Comment tu montres que est un groupe du coup?

Je pense que c'est pas facile pour toi de le montrer tu n'as pas l'air du tout à l'aise avec ces notions, mais si tu y arrives pas entamer cet exo ne sert à rien

AutG admet un élément neutre.

*Soit trois applications f ; g et h toutes de la forme a x a^-1 et je montre que :
(fog)oh = fo(goh) c'est l'associativité.

* Chaque élément (applications) de AutG admet un symétrique de la forme a y a^-1

Mais tu montres rien là !

Déjà les automorphismes de G c'est pas que des trucs de "la forme a x a-1 "

De deux tu ne montres absolument rien c'est comme si tu me demandais "Montrer que la suite de syracuse arrive toujours vers 1" et que je te répondais : "Je prends une valeur initiale et je montre que la suite de syracuse arrive en 1"


Pour l'instant tu n'as rien produit de mathématique sur ma question

f(x) = a x a^-1 ; g(x) = b x b^-1 et h(x) = c x c^-1

* [(fog)oh](x) = [f(g)oh](x)

[f(g)](x) = a(b x b^-1)a^-1 = (ab) x (ab)^-1

Donc [(fog)oh](x) = (abc) x (abc)^-1

* [fo(goh)](x) = [fo(g(h))](x)

[g(h)](x) = b (c x c^-1) b^-1 = (bc) x (bc)^-1

Donc [fo(goh)](x) = a[ (bc) x (bc)^-1]a^-1 = (abc) x (abc)^-1 =  [(fog)oh](x)

La notation f(g) n'a pas de sens
Tu es en train de répondre à la question 3 ni à la 2 ni à la mienne.

Je rappelle : un automorphisme de G est un endomorphisme bijectif de G.
est un automorphisme intérieur, c'est un automorphisme particulier et donc

Signifie que a est dans G et f_a qui a x associe a x a^-1 est dans AutG non ?

Sinon comment montrer que est un groupe ?

2) On montre que est un homomorphisme simplement non ?