Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Autour de la fct réciproque

Posté par
AyoubAnnacik 13-06-22 à 21:53

Paisible journée!!
J'ai des questions sur la fct réciproque,
Première c'est: si f est continue alors est ce qu'on a sa réciproque elle aussi est continue? (Algébriquement svp)
Deuxième question: meme chose pour la monotonie?
Troxième question: on peut parler tjrs sur la fct réciproque ou bien juste au cas qu'on a la bijection?
Mes réps:
Pour la 1ere, je sais que la courbe de f et celle de sa réciproque sont "similaire" par rapport à la droite d'equation y=x donc si f est continue alors forcément on a réciproque de f est aussi continue,
Meme chose je pense pour la monotonie,
Troxieme question: non
Merci d'avence

_{* modération > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné * sujet posté initialement niveau terminale *}

Posté par re : Autour de la fct réciproque 13-06-22 à 22:39

Bonsoir,
En précisant f une fonction continue sur un intervalle I de .
Soit J l'image de I par f.
Alors J est un intervalle de .

Si de plus f réalise une bijection de I sur J alors :
a) La fonction f est strictement monotone sur I
b) Sa bijection réciproque est continue et strictement monotone sur J, de même sens de variations que f.

Si f ne réalise pas une bijection de I sur J, alors on ne parle pas de bijection réciproque.
Pour en parler, il faut l'existence et l'unicité de l'antécédent par f.

Posté par re : Autour de la fct réciproque 13-06-22 à 22:41

PS merci de ne pas abuser du langage sms, genre fct, tjrs, réps.

Posté par re : Autour de la fct réciproque 14-06-22 à 00:05

Bonsoir,

Citation :
la courbe de f et celle de sa réciproque sont "similaire" par rapport à la droite d'equation y=x

Au lieu de "similaire", disons plutôt "symétrique"

Posté par re : Autour de la fct réciproque 14-06-22 à 00:17

Sylvieg donc (continuité + caractère bijictif) implique la monotonie? Est ce que vous pouvez faire une démonstration svp? Merci !!
LeHibou oui c'est ça "symétrique" xD

Posté par re : Autour de la fct réciproque 14-06-22 à 07:53

Bonjour

profil du demandeur : licence maths 2e/3 année...

AyoubAnnacik

Citation :
Est ce que vous pouvez faire une démonstration svp?

et toi ? que proposes-tu pour cette démonstration ?

Posté par re : Autour de la fct réciproque 14-06-22 à 10:40

Une démo de : continuité et injectivité de $f$ sur un intervalle $I$ impliquent stricte monotonie
Soit $A=\{(x,y)\in I^2,\;x<y\}$ et $\Phi$ définie sur $A$ par $\Phi(a,a')=\dfrac{f(a)-f(a')}{a-a'}$ .

$A$ est convexe car
c'est un demi-plan si $I=\R$
intersection de deux demi-plans si $I$ est majoré ou (exclusif) minoré
intersection de trois demi-plans si $I$ majoré et minoré.

Pour $(a,b)\in A,\;(a',b')\in A,\;t\in[0,1]$ on a donc $(ta+(1-t)a',tb+(1-t)b')\in A$ .
Si $g(t)=\Phi(ta+(1-t)a',tb+(1-t)b')$ on a $g$ continue sur $[0,1]$ et l'image de $g$ est donc un intervalle.
Comme $g$ ne s'annule pas (puisque $f$ injective) les valeurs $\Phi(a,b),\;\Phi(a',b')$ sont de même signe et $f$ strictement monotone.

...........................
Pour ceux qui connaissent la connexité c'est plus simple :
$A$ est connexe puisque convexe.
$\Phi$ est continue donc $\Phi(A)$ connexe.
$\Phi(A)$ est une partie connexe de $\R$ donc un intervalle.
Cet intervalle ne contient pas $0$ puisque $f$ injective; il est donc inclus soit dans $\R_+^*$ soit dans $\R_-^*$ .

...........................
Il y a des démonstrations plus "élémentaires" (la première que je donne utilise seulement la convexité d'un demi-plan et le théorème des valeurs intermédiaires) qui font joujou avec les positions respectives de $f(x),f(y),f(z)$ lorsque $x<y<z$ .

Posté par re : Autour de la fct réciproque 14-06-22 à 13:56

Merci beaucoup luzak!

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