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Autour de ln(2)
Bonjour, j'ai un DM a rendre en maths et je n'arrive pas du tout à faire cet exercice 
1. Démontrer que pour tout x>-1 :
x/(1+x) < ln(1+x) < x
2. Application 1 : donnons ici une idée sur la façon dont à l'origine les logarithmes ont été calculés.
a) Déterminer des entiers a, b, c et d tels que
5/(2^2) = 1 + a/b et (2^7)/(5^3) = 1 + c/d
b) En utilisant la question 1., écrire un encadrement de ln(5)-2ln(2) et de 7ln(2)-3ln(5).
c) En déduire un encadrement de ln (2) et de ln(5).
3. Application 2 :
a) Déduire de la question 1. que pour tout entier naturel non nul, n, on a
1/(n+1) < ln((n+1)/n) < 1/n
b) Soit Un = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) pour n appartenant à N étoile
Montrer que Un < ln(2) < Un + 1/(2n)
En déduire que la suite (Un) converge vers ln(2).
Pour la question 2. a) j'ai trouvé a=1, b=4, c= 3 et d = 125 mais je ne suis pas du tout sur.
Merci beaucoup
Bonjour,
question 2b :
dans la 2a le 1+a/b obtenu est le 1+x de la question 1
l'expression en logarithmes : quel est le logarithme de 5/(2^2) ?
si je te demande de but en blanc en dehors de cet exo de calculer ln(5/(2^2)) tu réponds quoi, en fonction de ln(5) et de ln(2) ?
et comme tu as démontré que 5/(2^2) = 1 + 1/4 (2a)
ça s'écrit aussi ln(1 + 1/4) = ln(1 + x) et la question 1 donne un encadrement de ln(1+x)
Ah d'accord, donc ça donne ln(5/(2^2)) = ln(5) - 2ln(2)
Donc 5/(2^2) = 1 + 1/(2^2) et ln(5/(2^2)) = ln(1 + 1/(2^2))
donc ln(5/(2^2)) est compris entre 1/5 et 1/4 ?
puisqu'on remplace x par a/b
Mais je ne comprend pas comment on peut en déduire l'encadrement de ln(5) et ln(2) à la question c.
Oui.
inutile d'écrire 2^2 au lieu de 1/4 vu que tu as a/b = 1/4 question d'avant !!
(c'est à ça que servait cette question d'avant)
faire pareil avec l'autre de la question 2b
2c
combiner les deux encadrements obtenus question 2b
celui de ln(5)-2ln(2)
et celui de 7ln(2)-3ln(5)
(par combinaison linéaire, attention aux signes et sens des inégalités)
D'accord, ça me donne
3/128 < 7ln(2)-3ln(5) < 3/125 < 1/5 < ln(5)-2ln(2) < 1/4
et je dois isoler ln(2) et ln(5) ?
:( 
??? tu comprends ce que veut dire faire la combinaison linéaire de plusieurs (in)égalités ?
ça te donne
1/5 < ln(5)-2ln(2) < 1/4 [A]
3/128 < 7ln(2)-3ln(5) < 3/125 [B]
en en multipliant [A] par ce qu'il faut et [B] par ce qu'il faut et en ajoutant membre à membre il ne reste plus que
??? < ln(5) < ???
et avec un autre choix de facteurs il ne reste plus que
??? < ln(2) < ???
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