Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

autour des fonction holomorphe

Posté par
LERAOUL 02-06-19 à 21:20

bonsoir svp de l'aide!
Soit f une fonction holomorphe sur dans le domaine U=\left\{z\in \mathbb{C},\left|z \right|<1 \right\}
a) Montrer que s'il existe a,b\in U, f(a)=a, f(b)=b, alors f(z)=z dans U.

Posté par
LERAOULre : autour des fonction holomorphe 02-06-19 à 21:48

j'ai trouvée!
Si tu cherche longtemps sans trouvé alors un jour tu trouveras sans chercher.

Posté par
lionel52re : autour des fonction holomorphe 02-06-19 à 21:50

Hello y a pas un probleme?
f(z) = (z- 1/2)(z + 1/2) + z

Posté par
jsvdbre : autour des fonction holomorphe 02-06-19 à 22:12

Hi !

On peut même pousser la plaisanterie :

f(z) = C(z-a)(z-b)(z-c)(z-d) + z

Il manque des hypothèses sur f.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 03-06-19 à 20:14

Bonjour,


j'ajoute l'hypothèse \Large \boxed{f:U\to U} et je traite d'abord le cas où l'un des points a ou b est nul, par exemple :


\small \boxed{1} \large \boxed{a=0 ~,~ b\neq0}


pour \normalsize \boxed{0<R<1} , notons \normalsize \boxed{B_{_R}=\{~ z ~/~ |z|\leqslant R ~\}} et \normalsize \boxed{S_{_R}=\{~ z ~/~ |z|=R ~\}}


la fonction \normalsize \boxed{g:z\mapsto\frac{f(z)}{z} ~,~ g(0)=f'(0)} est alors holomorphe sur U et on a pour tout \normalsize z\in S_{_R} , \normalsize |g(z)|\leqslant\frac{1}{R}


le principe du maximum assure qu'on a pour tout \normalsize z\in B_{_R} , \normalsize |g(z)|\leqslant\frac{1}{R}


et en faisant tendre R vers 1 on a pour tout \normalsize z\in U , \normalsize |g(z)|\leqslant1


et comme on a \normalsize g(b)=1 , le principe du maximum assure que g est constante sur U


ce qui donne \Large \boxed{\forall z\in U ~,~ f(z)=z}. sauf erreur bien entendu


\small \boxed{2} \large \boxed{a\neq0 ~,~ b\neq0} je ferai un autre post si nécessaire

Posté par
jsvdbre : autour des fonction holomorphe 03-06-19 à 23:51

Oui, @elhor_abdelali, bonjour, c'est précisément l'hypothèse que j'attendais.

On a le Lemme de Schwartz :

\D désigne le disque unité complexe.

Soit f : \D \rightarrow \bar \D une fonction holomorphe telle que f(0) = 0. Alors pour tout z \in \D :

\bullet~ |f(z)| \leq |z|

\bullet~ |f'(0)| \leq 1

Si de plus il existe \xi \in \D tel que |f(\xi)| = |\xi| ou si |f'(0)| = 1 alors il existe \theta \in \R tel que f(z) = e^{i\theta}z (autrement dit f est une rotation d'angle \theta et de centre 0)

Le cas a = 0 et b \neq 0 en est donc une conséquence immédiate avec une rotation laissant un point fixe qui ne soit pas le centre; c'est donc l'identité.

En revanche, pour a et b non nuls, je ne vois pas encore quoi poser comme fonction pour faire fonctionner le Lemme. L'heure tardive sans doute ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 00:56

Oui jsvdb je viens de découvrir ce fameux lemme de Schwartz !

Comme toi je réfléchis encore au cas \small \boxed{2}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 01:48

une idée :


\small \boxed{2} cas \normalsize \boxed{a\neq0 ~,~ b\neq0}


soit l'application \Large \boxed{\varphi : \begin{array}lU\to U \\ z\mapsto\frac{a-z}{1-\bar{a}z} \end{array}} , il n'est pas difficile de vérifier que \varphi est un automorphisme involutif de U.


En posant \Large \boxed{h=\varphi o f o \varphi} , on a \Large \boxed{h:U\to U} qui satisfait aux conditions du cas \small \boxed{1} à savoir \large \boxed{h(0)=0 ~,~ h(\varphi(b))=\varphi(b)}


on conclut donc à \Large \boxed{h=id_{_U}} et par suite à \Large \boxed{f=id_{_U}} sauf erreur bien entendu

Posté par
LERAOULre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 08:11

merci beaucoup! l'analyse complexes est vraiment complexe

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 13:39

De rien LERAOUL c'est un plaisir les mathématiques ! On en apprend tous les jours

Posté par
jsvdbre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 13:54

@elhor_abdelali, bravo ! J'ai bien pensé et cherché dans ta direction avec les automorphisme du disque unité pour se ramener au cas précédent, mais j'ai pas eu le nez assez fin pour trouver ce h.

Note personnelle : Est-ce que h ne serait pas plutôt h = \varphi \circ f \circ \varphi ^{-1}

A noter que grâce au lemme de Schwartz, on peut montrer que les seules bijection holomorphes de \D sur lui-même sont les applications z \mapsto e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar a z}, avec \theta \in \R et a \in \D

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 16:12

Bonjour jsvdb


\Large \boxed{\varphi^{-1}=\varphi} (c'est une involution !)

Posté par
jsvdbre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 16:18

Et en plus je sais pas lire 😂

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 18:15




Citation :
A noter que grâce au lemme de Schwartz, on peut montrer que les seules bijection holomorphes de D sur lui-même sont les applications z \mapsto e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar a z}, avec \theta \in \R et a \in \D



oui, résultat impressionnant !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 18:44

Et il faut reconnaitre qu'à part les rotations \normalsize z\mapsto ze^{i\theta} (a=0),


toutes les autres (a\neq0) sont des transformations assez complexes du disque unité !

Posté par
jsvdbre : autour des fonction holomorphe 04-06-19 à 19:34

Oui, j'aime beaucoup ce résultat.
Donc en résumé, la seule transformation holomorphe du disque unité avec deux points fixes est l'identité.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1718 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !