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Autour du théorème de Bolzano Weierstrass
Bonjour!
I.Soit une suit réelle bornée telle que toutes les uites extraites qui convergent ont la même limite. Montrer que
est convergente. (Fait. J'ai pris
et
, deux suites extraites de
qui convergent vers la même limite l, et j'ai distinguer le cas où p de
(j'ai changé d'indice) est pair et celui où p est impair)
II. Soit une suite de nombres complexes .
1.Montrer que si est bornée alors elle admet une sous-suite convergente. (Fait. J'ai définie deux suites réelles
et
telles que:
. Du fait que
est bornée, nous aurons
et
bornées et on leur applique par la suite le théorème de Bolzano-Weierstrass deux fois)
2.On suppose que, pour tout .
Montrer que: (Besoin de qq indications) .
Merci d'avance ^^.
salut
pour tout q fixé considère les disques Dk de centre zk avec 0 
k q et de rayon 1
l'union de ces disques est incluse dans un disque D de centre 0 et de rayon r
considérons alors zq + 1
par hypothèse pour tout k de [[0, q]]
il y a alors deux cas :
soit tu peux coincer zk + 1 dans un trou de D non recouvert par les disque Dk
soit tu ne peux pas et donc
il suffit alors de montrer que le premier cas n'est pas possible pour tous les termes suivant z_q
Bonsoir Yona07 et carpediem,
Je propose une autre option.
Pour 2), on peut également s'y prendre en supposant que ne tend pas vers
.
Alors tu peux montrer (à partir de la définition) qu'elle admet une sous-suite bornée.
Au vu de ce que tu as fait avant, que peux-tu conclure grâce à cette nouvelle suite?
En quoi ça s'oppose à la particularité de la suite?
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