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autre nom ?

Posté par Profil amethyste 01-01-16 à 11:29

Salut

ici sur ce topic si vous connaissez un autre nom (autre que celui que je donne ici )

je vous remercie d'avance de me le signaler

dédicace : c'est vers  6 heures ce matin en faisant ce topic que j'entendis pour la dernière fois mon chat Sonia (qui était malade) elle a rendue l'âme mais très franchement en dehors de la tristesse j'y ai cru (je la voyais en bonne voie)

Je lui dédie ce Topic à sa mémoire pour toutes les nuits qu'elle passa à m'accompagner durant quinze années avec mes maths
____________________________________________________________________
convention de notation

on note \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {W} \rangle le produit scalaire euclidien de deux vecteurs   \overrightarrow {V}   et    \overrightarrow {W}

et on note || \overrightarrow {V} || =\sqrt {\langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {V} \rangle } la norme d'un vecteur    \overrightarrow {V}  
____________________________________________________________________
Notion de perpendiculaire d'un couple de droites

On se place dans l'espace affine \mathbb {R}^n

Soient sont donnés deux droites   \Delta _V:=\begin {Bmatrix}x_1-a_1=k.v_1 \\     ...\\  x_n-a_n=k.v_n   \end {matrix}   et     \Delta _W:=\begin {Bmatrix}x_1-b_1=k.w_1 \\     ...\\  x_n-b_n=k.w_n   \end {matrix}  

Ces droites telles qu'elles ne sont ni confondues , ni parallèles

On pose A=(a_1,...,a_n) et B=(b_1,...,b_n) les points qui sont donnés
dans les représentations paramétriques des droites \Delta _V et  \Delta _W

et on pose \overrightarrow {V}=(v_1,...,v_n) et \overrightarrow {W}=(w_1,...,w_n) les vecteurs directeurs qui sont donnés
dans  les représentations paramétriques des droites \Delta _V et  \Delta _W

Alors il n'existe qu'un seul et unique couple de points (P,Q) tel que l'on vérifie

P=A+x.\overrightarrow {V} et Q=B+y.\overrightarrow {W} avec (x,y)\in \mathbb {R}^2 et  \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {PQ} \rangle = \langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {PQ} \rangle  =0

Il résulte alors que quelque soient X et Y   sont des points appartenants respectivement
aux droites  \Delta _V et  \Delta _W alors on vérifie toujours   || \overrightarrow {PQ} ||  \leq  || \overrightarrow {XY} ||  

Lorsque l'on obtiens l'égalité P=Q   cela signifie que les droites   \Delta _V et  \Delta _W  sont sécantes au point   P=Q  

Lorsque l'on obtiens l'inégalité   P\neq Q    on dit alors que le segment de droite PQ désigne la perpendiculaire des deux droites   \Delta _V et  \Delta _W

___________________________________________________
Recherche du couple (P,Q)

Avant toute chose on peut établir l'équivalence logique

( les droites  \Delta _V et  \Delta _W ne sont ni nulles, ni confondues, ni parallèles ) \Leftrightarrow       (    \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {W} \rangle  ^2- \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {V} \rangle .\langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {W} \rangle  \neq 0   )  

on obtiens

P=A+x.\overrightarrow {V} et Q=B+y.\overrightarrow {W}

avec

x=\frac {\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {AB}  \rangle  }{\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  }+ \begin {pmatrix}    \frac {\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {W}  \rangle  }{\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  } \end {pmatrix} .  \begin {pmatrix}   \frac {\langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {AB}  \rangle  .\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  -\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {AB}  \rangle  .\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {W}  \rangle  }{\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {W}  \rangle  ^2-\langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  .\langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {W}  \rangle  } \end {pmatrix}

y=\frac { \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {AB}  \rangle  . \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  - \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {AB}  \rangle  . \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {W}  \rangle  }{ \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {W}  \rangle  ^2- \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  . \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {W}  \rangle  }

ainsi étant donné que les droites ne sont (ni nulles), ni confondues et ni parallèles  ce couple  existe et il est unique
__________________________________________________________________
Démonstration

On pose P=(p_1,...,p_n) et Q=(q_1,...,q_n)  et   \overrightarrow {R}=  \overrightarrow {PQ}=(r_1,...,r_n)=(q_1-p_1,...,q_n-p_n)  

on peut alors établir le système de deux équations    \begin {Bmatrix}v_1.r_1+...+v_n.r_n =0\\   w_1.r_1+...+w_n.r_n  =0 \end {matrix}  

ce qui avec les notations précédemment posées reviens donc à établir le système

    \begin {Bmatrix}v_1. (b_1+y.w_1-a_1-x.v_1)+...+ v_n. (b_n+y.w_n-a_n-x.v_n)=0\\   w_1. (b_1+y.w_1-a_1-x.v_1)+...+ w_n. (b_n+y.w_n-a_n-x.v_n)  =0 \end {matrix}  

de sorte qu'en posant \alpha =\frac {v_1.b_1+...+v_n.b_n-v_1.a_1-...-v_n.a_n}{v_1^2+...+v_n^2} et \beta = \frac {v_1.w_1+...+v_n.w_n}{v_1^2+...+v_n^2}

on obtiens x=\alpha + y .\beta et y=\frac {w_1.b_1+...+w_n.b_n-w_1.a_1-...-w_n.a_n-\alpha.(v_1.w_1+...+v_n.w_n)}{\beta .(v_1.w_1+...+v_n.w_n)-(w_1^2+...+w_n^2)}

par ailleurs  \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {V} \rangle =v_1^2+...+v_n^2

\langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {W} \rangle =w_1^2+...+w_n^2

\langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {W} \rangle =v_1.w_1+...+v_n.w_n

\langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {AB} \rangle =v_1.b_1+...+v_n.b_n-v_1.a_1-...-v_n.a_n

\langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {AB} \rangle =w_1.b_1+...+w_n.b_n-w_1.a_1-...-w_n.a_n

et en simplifiant on obtiens le couple (P,Q)

______________________________________
premier exemple : droites sécantes

A=\begin {pmatrix}   7.3\\  -13.6\\  23.9\\ -28.2 \end {pmatrix}

B=\begin {pmatrix} 9.1 \\-52.7  \\ 43.5   \\-28.3     \end {pmatrix}

\overrightarrow {V}=\begin {pmatrix} 1\\-2  \\3    \\ -4    \end {pmatrix}

\overrightarrow {W}=\begin {pmatrix} -1 \\  7\\-5    \\ 3    \end {pmatrix}

on vérifie     \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {W} \rangle  ^2- \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {V} \rangle .\langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {W} \rangle  =-756 \neq 0

et on obtiens P=Q=\begin {pmatrix}  2 \\-3  \\8    \\-7     \end {pmatrix}
______________________________________
deuxième exemple : droites non sécantes

A=\begin {pmatrix}   7.3\\  -13.6\\  23.9\\ -28.2 \end {pmatrix}

B=\begin {pmatrix}  1.1\\ -56.7 \\ 37.5   \\ -20.3    \end {pmatrix}

\overrightarrow {V}=\begin {pmatrix} 1\\-2  \\3    \\ -4    \end {pmatrix}

\overrightarrow {W}=\begin {pmatrix} -1 \\  7\\-5    \\ 3    \end {pmatrix}

on vérifie     \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {W} \rangle  ^2- \langle  \overrightarrow {V}|   \overrightarrow {V} \rangle .\langle  \overrightarrow {W}|   \overrightarrow {W} \rangle  =-756 \neq 0

et on obtiens P=\begin {pmatrix} -1.666666666...\\ 4.333333333... \\-3    \\7.666666666     \end {pmatrix} et Q=\begin {pmatrix} -7.428571428571... \\3  \\-5.142857142857...    \\5.285714285714     \end {pmatrix}

Posté par
macontributionre : autre nom ? 01-01-16 à 12:45

BONJOUR AMETHYSTE

En écrivant une réponse (non mathématique)  à ce topic j'ai à mes pieds notre chatte MAYA qui a 22 ans 3 mois et...quelques jours.....

Je comprends.

Bonne année à tous les lecteurs.

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 01-01-16 à 13:00

Merci grand camarade Ma contribution

ce mot de compassion ...à présent mon chat est avec Dieu...  elle a vécu heureuse mais Dieu c'est dûr quelle soit partie ...

merci camarade et bonne année à tous et à toi aussi dont j'apprécie la fidélité et le travail ici

Posté par
dpire : autre nom ? 01-01-16 à 17:14

Bonjour,

Je  laisserai aussi  le coté mathématique (trop théorique)  pour te soutenir
dans le deuil de ta chatte.
Nous avons eu toujours des chats et nous avons chaque fois été tristes
à leur départ, mais nous savons qu' ils ont été heureux pendant leur
vie à nos cotés.

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 01-01-16 à 17:43

merci Dpi

oui c'est ce qui compte ...

je n'ai que des chats en fait ... et c'est vrai ce qui compte c'est qu'ils soient ce qu'ils sont : des chats vivants leurs vie de chats

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 01-01-16 à 17:49

... j'oubliais ...Dpi ...encore merci

... tiens un truc intelligent là -> c'est triste mais c'est beau (d'ailleurs en general les plus belles choses sont toujours tristes )

pour un  premier de l'an et pour la mort de mon chat ça tombe bien cette musique

si tu apprécie Dpi et que tu connait pas

Trisomie 21 - la fête triste    

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 02-01-16 à 11:55

Bonjour,

Je ne suis pas très futé,certains me le disent ,d'autres presque subtilement me le font comprendre;je ne vois ni n'entrevois ce qui motive tes interventions ,ici tes vectoriels propos.

Alain

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 02-01-16 à 13:28

Bonjour Alain Paul

je n'ai jamais rien dit ni pensé cela à ton propos ... ...???.... pardon mais là je vois pas ...

sinon pour répondre à ton questionnement

la question de ce topic était si ce que je nomme perpendiculaire de deux droites ni confondues,ni parallèles et ni sécantes s'appelle ainsi dans le jargon mathématique (ou appelle t-on ça autrement)

ici pour deux droites données   \Delta _v et \Delta_w  qui ne sont  ni confondues,ni parallèles et ni sécantes  ce que j'appelle perpendiculaire à ces deux droites est le seul et unique segment de droite  PQ  où P appartiens à la droite \Delta_vet Q appartiens à la droite \Delta_w et tel que ce segment soit orthogonal aux deux droites   \Delta_v et   \Delta_w

ici je detaille la formulation qui donne ce segment et avec une demonstration et enfin un exemple

lorsque P=Q cela signifie que les droites sont sécantes au point P=Q

dans le premier exemple P=Q et on verifie

P=Q=A+x. \overrightarrow {V}=B+y. \overrightarrow {W}

avec   x=-5.3   et   y=7.1

dans le deuxieme exemple P\neq Q et on verifie

P=A+x. \overrightarrow {V}   et  Q=B+y. \overrightarrow {W}

avec   x=-8.966666666666...   et   y=8.528571428571...

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 02-01-16 à 20:05

Bonjour,

All  is right!   All is right!

Tu joues avec des droites d'un hyper espace  d'ordre n,là je réalise pas très bien ce que
signifie non sécante et non parallèle ,


Alain

Posté par
cocolaricottere : autre nom ? 02-01-16 à 20:13

Difficile de partager ce genre de deuil quand on perdu un de ses enfants !

Un peu de décence pour tous les parents orphelins de leurs enfants ou qui ont des enfants gravement malades !

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 02-01-16 à 20:25

dans l'espace de dimansion trois des droites peuvent êtres non confondues ni parallèles ni sécantes

sinon un  vecteur est un vecteur et un point est un point Alain Paul

quand on dit que P=A+x . \overrightarrow {V} ] est un point d'un espace affine  

à la limite on a pas besoin de parler de la dimension de cet espace

dans les formulations finale on ne précise pas ... c'est valable aussi bien dans n=3 que pour  n=4 ou autre

et dans le plan n=2 on aura toujours P=Q de sorte que ces droites  ni confondues ni parallèles seront toujours secantes

Ps :   Cocolaricotte  je ne savais pas que tu avais perdu un enfant ...
évidemment ça risque pas de m'arriver ... mais je te comprend certes

Posté par
cocolaricottere : autre nom ? 02-01-16 à 21:32

Pas besoin d'avoir perdu son enfant pour comprendre la détresse des nombreux parents d'élèves qui passent par là pour aider leurs enfants dans une une situation de grave maladie !

Posté par
louisaThomasre : autre nom ? 02-01-16 à 22:05

No comment

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 03-01-16 à 04:45

... on peut encore simplifier la formule qui donne x (tout simplement par symetrie)

x=\frac { \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {BA}  \rangle  . \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {W}  \rangle  - \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {BA}  \rangle  . \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {V}  \rangle  }{ \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {V}  \rangle  ^2- \langle \overrightarrow {W}  | \overrightarrow {W}  \rangle  . \langle \overrightarrow {V}  | \overrightarrow {V}  \rangle  }

...entre parenthèses  pour rassurer Cocolaricotte, faut pas être très très fufute non plus pour deviner que ce genre de topic n'interessera pas un seul parent  ... bah oui forcément c'est logique ce que je dit  

Félix Dzerjinski l'avait dit de toute façon  ...il était peut être pas très fufute mais il était loin d'être idiot

  

Posté par
dpire : autre nom ? 03-01-16 à 09:29

Bonjour

>amethyste
Merci pour cette musique dont le rythme  donne  une lancinante  orientation.

>cocolaricotte
Notre peine ne peut se mesurer à l'être perdu ,seul le deuil est différent.
De tout cœur avec toi.

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 03-01-16 à 10:06

Bon dimanche,

Au delà des mots...

AFFLEURANT

Saule aveugle
Montagne bleue
La neige ne tombe pas
La cloche n'appelle plus

Plus étrange
Les pensées se trouent,
S'emplissent d'air
D'émotions familières...


A Lan

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 03-01-16 à 10:42

-> merci camarade Alain Paul...évidemment Félix Dzerjinski était tout ce qu'on veut mais certainement pas poête

alors ce que tu a écrit là, accompagnera son implacable lucidité (certes indispensable)

encore merci!

-> ...de rien camarade Dpi

si tu aime ce titre de Trisomie 21 tu aimera certainement le meilleur de ce groupe

Trisomie 21 The Last Song  

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 03-01-16 à 10:49

Bon,


Un autre texte?

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 03-01-16 à 10:56

ça serai sympa  Alain paul!! merci!!

ça aidera à faire passer les implacables vérités de   Félix Dzerjinski , qui comme son prénom l'indique était aussi une espèce de gros chat  lucide

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 03-01-16 à 11:12

Again


Ma maison accueille les rêves
                          abrite la solitude
enveloppe mes plus profonds souvenirs:
ennui,avenir,passé
y sont présents.

Derrière la porte:
orages du ciel
tumultes de la ville,
tempête des jours,

tout s'éloigne
et souple le silence,
de ma vie,
renoue les fils...

Alain

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 03-01-16 à 13:30

encore merci Alain Paul pour ce poême pertinent justement pour ce topic là

un autre poême que je trouve pertinent (d'un poête comtemporain  : le poête Philippe Tancelin et malheureusement certes ...troskiste (ce que je ne suis pas vu que je suis Stalinien...mais bon oublions ça )

"Au chevet de Babylone-
Les dieux inséparables abordent la terre, non comme une promise mais comme un bien privé. Ici-bas, ils ne peuvent être et chacun sans doute, qu'hommes et femmes, car ils savent tout des humains ...
Cette pauvre et prétentieuse expérience les rendra vulnérables, un tantinet philosophes, quelque peu ordinaires, énormément violents et sanguinaires et si l'un d'eux s'exerce à l'humanité c'est qu'il est vaincu d'humanité.
Tous néanmoins, auront bien des peines à retourner d'où ils viennent"


Compagnie théatrale du kaleïdoscope bleu (dont faisait* partie le poête Philippe Tancelin)

*faisait car depuis qq années je ne fréquente plus cette troupe :  
j'ai été viré mais c'est de bonne guerre entre nous

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 03-01-16 à 16:15

... tiens à propos du camarade Philippe Tancelin j'ai trouvé un  lien qui date de 2008

il date certes mais le texte de tout à l'heure date du II ième millénaire donc bien avant 2008  



c'est un bon lui !! (troskyste certes mais un bon)  

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 04-01-16 à 12:03

Bonjour,

Il me souvient d'un théâtre très original ,Porte de Vincennes nous étions
spectateurs acteurs pour '1789' .


Once more:

VIVE LA VIE

Plume d'azur
Vol de nuages,
les années aux années s'ajoutent.

Vive la vie.

Souple,son ruban se déroule,
Se déroulent et le fleuve
Et l'écume des jours.

Dans l'onde d'azur
Plonge l'oiseau...

Attente
désir ou mystère,
divine ou rebelle,
plonge la vie.


Alain

Posté par Profil amethystere : autre nom ? 14-01-16 à 20:51

Merci Alain  Paul

Et là le lien qui tue  ->Cheri - Murphy's Law  

Cette loi fait la loi partout en fait car ...

c'est la loi !  et  c'est ma loi !

Posté par
alainpaulre : autre nom ? 23-01-16 à 10:41

Bonjour,

"La tartine beurrée  "   nous en parlions  il y a maintenant quelques décennies.

J'ai lu une très sérieuse thèse de physique ;cette humoristique hypothèse est
mise en défaut sauf pour des épaisseurs et positions particulières.

Laissons aussi une place  à l'ennui et la rêverie.

Amicalement,

Alain


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