Bonjour,

il existe exactement 147, et pas une de plus, décompositions de 1 en somme de cinq inverses
dont 72 formées de fractions toutes différentes.

la preuve de la finitude est la preuve que l'algorithme qui les donne toutes s'arrête (parce que un nombre fini de boucles finies)
un tel algorithme n'est pas très compliqué à écrire

par contre si on demandait en somme de fractions plus nombreuses, le temps de calcul (et le nombre de solutions) deviendrait prohibitif

avec 6 fractions on a 2320 solutions formées de termes tous différents
avec 7 fractions les calculs font intervenir des nombres trop grands pour un programme "ordinaire" (sans intervention de "BigInt"), dans lequel les entiers sont limités à 2⁶⁴ - 1 = 18446744073709551615
(ceci est bien un nombre fini )


comme je le disais dans l'exo d'origine ...

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l'identité remarquable permet d'étendre "gratuitement" le nombre de fractions

à partir de 1 = 1/2 +1/2 on obtient en remplaçant un des 1/2 avec cette formule
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
en remplaçant le 1/6
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42
et finalement 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806

ce qui n'est certes pas l'optimum (en taille du plus grand dénominateur) mais s'obtient directement sans recherches lourdes et longues.

Merci mathafou pour ta réponse et sa rapidité.
Je n'ai pas voulu poster dans le sujet d'origine car le demandeur n'a pas du tout réagi.
Et j'ai formulé différemment pour éviter qu'il ne tombe sur ma demande en faisant une recherche.

Bonjour,

pour compléter la réponse de mathafou, l'encyclopédie des suites entières indique que l'ont sait calculer le nombre de solutions jusqu'à fractions :

avec des fractions distinctes c'est la suite A6585

avec des fractions non nécessairement distinctes c'est la suite A2966

c'est fou ce qu'on trouve dans l'OEIS ...

Merci jandri
Je connais bien l'OEIS, mais je ne pensais pas y trouver quelque chose.
D'ailleurs, une recherche, même en anglais ne permet pas de tomber dessus sans connaître les premiers termes.
J'aurais pu me douter que le nombre de solutions était fini, par exemple en cherchant un peu n = 3
Encore merci, il y a plein de liens qui doivent être passionnants.

Bonjour
Il est facile de réduire de 5 à 4 le nombre de fractions. Par contre la conjecture d'Ergös dit que l'on peut réduire à 3 fractions mais toujours pas démontrée.

pour la décomposition de 1 il est instantané de "prouver" que 1 = 1/2+1/3+1/6

la conjecture d'Erdös est pour la décomposition de tout nombre rationnel 4/n, (même pas pour tout nombre rationnel !!)

par exemple, 8/17 ne possède aucune décomposition en 3 termes (et 23 solutions en 4 termes tous différents)

Oui tu as raison ce n'est pas le même problème, j'ai écris trop vite.

Bonjour,
Contente que ma question de néophyte en intéresse quelques uns
1/2+1/3+1/6 est la seule manière d'écrire 1 comme somme de 3 inverses d'entiers distincts.
Pour la somme de 4 inverses d'entiers distincts, voici les 6 solutions :

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1/2+1/3+1/7+1/42
1/2+1/3+1/8+1/24
1/2+1/3+1/9+1/18
1/2+1/3+1/10+1/15
1/2+1/4+1/5+1/20
1/2+1/4+1/6+1/12

Bonjour,
Certains sont cachotiers ou modestes :
En cherchant autre chose, je viens de découvrir
Joli

Bonjour,
et même que c'est écrit en JavaScript dans la page elle même
on peut donc aller espionner le code pour voir comment est fait l'algorithme

et puis il y a ça aussi expliquant pourquoi les chameaux viennent mettre leur nez dans les paramètres du script.