Bonjour,

J'aime bien les premiers et je donne quelques pistes:
*2 sera dans la liste car le total doit être impair.
*0 sera dans le total qui sera<999 donc au milieu.
*comme il faudra éliminer au moins  deux pairs la
forme de l'addition sera 2+x+x+xx=x0x

 Cliquez pour afficher

Je propose 2+5+7+89 =103

Je donne le lien : Sommes de nombres premiers
L'unicité n'y est pas démontrée...

Bonjour...

Python m'a un peu aidé...

 Cliquez pour afficher

2 + 5 + 7 + 89 = 103

Tous les moyens sont bons
Et pour l'unicité, Python peut aider ?

il semblerait que la solution soit unique...

Il "semblerait" pour moi aussi
Et pour ceux qui s'étaient penchés sur l'énigme il y a quelques années.
Mais comment en être certain sans s'épuiser avec trop de cas ?

salut

on peut très bien faire une preuve informatique (tout comme le théorème des quatre couleurs)

1/ le nombre de solutions est fini ...

2/ ... et dpi a donné des conditions nécessaires

3/ il est aisé de montrer qu'un algorithme testant toutes les issues est valide ...

4/ ... et l'algorithme est relativement simple à écrire

5/ cette preuve prouvera l'unicité (ou donnera les solutions grâce à l'algorithme)

Bonsoir,

Présenter une solution construite ne semble pas facile;nous savons qu'à part 2 ,
les nombres premiers sont de la forme 6n-1 ou 6p+1 ,les premiers jumeaux correspondent alors à 6n-1 et 6n+1.

Modulo 6 nous avons: 2 + a + b + c  =  1 ou -1   soit
                                                   2  -  1  +1 - 1  =  1  
                                                   2  -  1  -  1  - 1 =-1  
(Les nombres 5 et 7 déjà trouvés  sont jumeaux.)

Peut-on relâcher la contrainte  à trois nombres de forme 6n+/-1 et 2  donnant
pour somme un nombre de la forme 6p+/-1,tous les chiffres nécessaires utilisés étant différents?

C'est-à-dire passer par une étape modulaire puis examiner les cas 'premiers'?

Alain

je ne vois pas ce que ça apporte ...


pour revenir à ce qu'à dit

Recherche des cas possibles

Considérons 10 digits à répartir sur 5 nombres p1 < p2 < p3 < p4 < p5 avec p1 = 2 et p5 = p1 + p2 + p3 + p4.

Cas 1 : p1, p2, p3 et p4 sur 1 chiffre



Cas 2 : p1, p2 et p3 sur 1 chiffre, p4 sur 2 chiffres



Cas 3 : p1, p2 sur 1 chiffre, p3 et p4 sur 2 chiffres



Cas 4 : p1, p2 sur 1 chiffre, p3 sur 2 chiffres, p4 sur 2 chiffres

Bonjour.

Les divisions par 3 de la somme des quatre nombres, de la somme de leurs chiffres et de la somme des chiffres du cinquième nombre donnent le même reste.
Il ne peut pas y avoir les dix chiffres car la somme serait divisible par 3.
S'il y a neuf chiffres, le chiffre manquait ne peut être 0, 3, 6 ou 9 car la somme de tous les chiffres serait di-visible par 3 et le cinquième nombre aussi.

La somme de deux chiffres des unités ne peut être 8, car la somme aurait pour chiffre des unités celui d'un des quatre nombres.
La somme des chiffres des unités ne peut être 15 ni 25 ni 35.
Les possibilités pour les chiffres des unités sont :
2159 → 7 restent 03468
2379 → 1 restent 04568
2579 → 3 restent 01468

Les possibilités pour le nombre de chiffres de chaque nombre sont :
x x x x → xx : 2+3+5+7 = 17 n'est pas une solution
x x x xx → xx : 2+3+7+x9 = x1 pas de solution ; 2+5+7+x9 = x3 pas de solution
x x x xx → xxx : la somme est 1xx ; 2+5+7+x9 = 1x3 ; 2+5+7+89 = 103 est une solutioin
x x xx xx → xx : voir ci-dessous
x x xx xx → xxx : la somme doit être 10x, en l'occurrence 103 ; le 6 doit s'associer au 7 ; 2+5+67+x9 = 103 n'est pas une solution, car x9 = 29 et le 2 est répété
x xx xx xx → xx : le 0 doit être présent et ces nombres n'en contiennent pas

x x xx xx → xx
avec les unités 2159, le 9 doit être associé au 8, mais 89+xx+x+x est supérieur à 100
avec les unités 2379, le 9 doit être associé au 5 ; l'autre nombre à deux chiffres est au moins 43 et la somme est supérieure à 100
avec les unités 2579, le 9 doit être associé au 19 ; 2+5+x7+19 = x3 ; 2+5+47+19 = 73 et 2+5+67+19 = 93 ne sont pas des solutions

La seule solution est 2+5+7+89 = 103.

>carpediem

Mon raisonnement...

Tous les chiffres des premiers doivent être différents.
2 étant pris reste 9 chiffres   soit  2+bc+de+fg =hij   avec i=0
reste 8 chiffres  avec   b,d,f  =4,6,8 ce qui impliquerait h=2 donc
reste 6 chiffres tels que 2+c+de+fg=10j  ce qui élimine d  (on dépasse )
Nous arrivons à  2+c+e+fg=10j
2+5+7=14 = 103 ou 109   soit fg 89 ou 95
2+5+9=16 = 103 ou 107  soit fg =87 ou 91
2+7+9=18 = 103 ou  109 soit fg =85 ou 91

oui j'ai pas voulu me fatiguer à réfléchir ... donc affirmer qu'une preuve informatique suffisait ...

mais finalement en se fatiguant un chouia on y arrive assez facilement ... par la réflexion

@plumemeteore :
J'avais trouvé les mêmes combinaisons de chiffres d'unité, mais de manières besogneuse...
L'utilisation des restes modulo 3 est une trouvaille

Après, n'ayant pas vu que les 10 chiffres ne pouvaient pas figurer, j'avais plein de cas pour des chiffres de centaines et je m'étais épuisée

Une petite question cependant :
Pourquoi ne pas envisager x x x xxx ?
J'étais tombé sur 2+3+7+ xxx = 601 qui ne convient pas car 589 n'est pas premier.

Bonjour Sielvieg.
Pour x+x+x+xxx = xxx :
Les chiffres des unités des quatre nombres sont 2, 1 ou 7, 3 ou 5, 9 (dans le grand  nombre). Le 1 ne pouvant être isolé, 7 en fait partie.
6 est présent et ne peut être qu'un chiffre des centaines
Les chiffres des centaines sont consécutifs ; la seule possibilité est 5 et 6.
La seule possibilité pour le chiffre des dizaines du grand nombre est 8.
Le grand nombre doit donc être 589. Malheureusement, 589 = 19*31.

Un algorithme avec Python pour l'unicité :
Voir Sommes de nombres premiers
Merci benmagnol