Niveau exercices

Avec des puissances

Posté par
Sylvieg 07-02-24 à 21:43

Bonsoir,
Un énoncé gentil Inspiré de Puissances (niveau 4ème).
Résoudre dans l'équation 1^x + 6^x + 8^x = 9^x.
Vous êtes autorisés à utiliser des outils niveau terminale.

Posté par re : Avec des puissances 07-02-24 à 22:49

salut

$1^x + 6^x + 8^x = 9^x \iff f(x) = (1/9)^x + (2/3)^x + (8/9)^x = 1$

la fonction f est strictement décroissante et tend vers 0 donc l'équation f(x) = 1 n'a pas de solution au delà d'une certaine valeur

et je propose même 10 !! (car f(10) < 1/1000 + 1/3 + 1/2)

donc on est ramener à étudier l'équation sur l'intervalle [0, 10]

sur cet intervalle le TVI nous assure même l'existence d'une unique solution ...

avec les entiers et en considérant les croissances (exponentielles) des fonctions x --> 6^x, x --> 8^x et x --> 9^x chacune croissant moins vite que la suivante on en déduit que :

le triplet pythagoriciens (3, 4, 5) nous assure que x > 2

les calculs mentaux $36^2 = (40 - 4)^2 \le 1600$ et $64^2 = (65 - 1)^2 \le 4225$ et $81^2 \ge 80^2 = 6400$

on en déduit que x < 4

et on essaie x = 3 ...

Posté par re : Avec des puissances 08-02-24 à 08:14

Bonjour,

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Posté par re : Avec des puissances 08-02-24 à 10:17

Bonjour,

la "difficulté" était de prouver l'unicité, carpediem l'a rendue "évidente" en divisant tout par le plus grand terme.
sinon on s'égare (je m'égarais) dans des fonctions non monotones sur

on sait (Fermat) que a³ + b³ = c³, n'a pas de solution dans
par contre a³+b³+c³ = d³ en a, et même une infinité
à l'instar des triplets de Pythagore a²+b²=c², il existe des formules pour en générer les solutions
(Francis Georges Binet de Boisgiroult, baron de Sainte-Preuve, 1800-1873
avec un nom pareil pas étonnant qu'il fut mathématicien)
il n'est pas difficile de justifier que ses formules donnent des solutions, plus difficile est de prouver (ou pas) qu'elles les donnent toutes.

en tout cas celle que je préfère est 3³ + 4³+5³ = 6³ !

un bricoleur peut "s'amuser" à les réaliser sous forme de pièces de puzzle 3D, que l'on peut agencer pour former soit les cubes de 1 (!!), 6 et 8, soit le cube de 9

Avec des puissances
(Robert Reid)

en tout cas on peut prouver que tout puzzle réalisant a³+b³+c³ = d³ est composé d'au moins 8 pièces
la découpe précédente en 8 pièces est donc minimale.

questions :
- retrouver / démontrer les formules de Binet
- reconstituer les cubes 1³+6³+8³ et 9³ avec les pièces ci dessus
- trouver une découpe (en 8 pièces) de 3³+4³+5³=6³
(c'est possible, R.F. Wheeler 1951)