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avec une suite auxiliaire

Posté par
sophiie-ld 21-09-12 à 17:28

u est la suite définie sur N par un = n²/e^n
On se propose d'étudier la limite de la suite u. Ppour cela on introduit la suite v définie sur N par vn= n*un
a)demontrer que pour tout n1
v(n+1)/vn = (1+1/n)^3 * 1/e   --> e = 2,71 à 10^-2 près.
cette question j'ai reussit mais c'est les autres ou je bloque.
b) demontrer que pour tout n 3, v(n+1)/vn 1
c)en déduire que pour tout n 3, vnv3
d)en déduire la limite de la suite u.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 21-09-12 à 18:14

Hello,

pour débloquer :

n\ge  3 \\ \frac{1}{n}\le \frac{1}{3} \\ 1+\frac{1}{n}\le \frac{4}{3} \\ (1+\frac{1}{n})^3\le (\frac{4}{3})^3 \\ (1+\frac{1}{n})^3\times \frac{1}{e}\le (\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}

reste plus qu'a montrer que (\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}\le 1

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 21-09-12 à 18:46

c)

Dans cette question tu peux démontrer cela par récurrence.

1)

Démontres que V_4\le V_3

2)

puis démontres que si V_k\le V_3 alors V_{k+1}\le V_3

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 21-09-12 à 18:49

d)

Tu auras ainsi :

0\le U_n=\frac{V_n}{n}\le \frac{V_3}{n}

tu pourras conclure.

Posté par
sophiie-ldre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 10:14

Merci bcp pour ton aide ! j'aurais quelques petites questions
quand tu fais 1+1/n4/3 pourquoi tu changes le signe et tu laisses pas celui la :?
et je voulais savoir aussi quand tu met la valeur de e pour voir si c'est inférieur ou égal a 1 tu met 2,71 ou 0,0271?
Pour la c sinon quand je calcule v4 et v3, v4 est plus grand que v3 ?
Encore merci!

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 10:31

Je change de signe quand je passe de n\ge 3 à \frac{1}{n}\le \frac{1}{3} parce que les inverses ont dans l'ordre inverse des nombre, ou la fonction inverse est décroissante.

Citation :
et je voulais savoir aussi quand tu met la valeur de e pour voir si c'est inférieur ou égal a 1 tu met 2,71 ou 0,0271?


ah mais le nombre e c'est 2,71 et pas autre chose, le 10^{-2} indique la précision.

Citation :
Pour la c sinon quand je calcule v4 et v3, v4 est plus grand que v3 ?


Tu as fait les calculs ?

Posté par
sophiie-ldre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 10:37

D'accord merci ! oui alors ca fait v3 = 3^3 / e^3 = environ 1,36 et v4 = 4^4/ e^4 = environ 4,75

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:15

Heuuuuu.....ça c'est Un pas Vn or Vn=nUn

V3=3*3^2/e^3 1,34

V4=4*4^2/e^4 1,17

Donc  V4<V3.

De toute façon d'après la question précédente on peut dire :

V4/V31 ce qui entraien V4V3

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:20

Citation :
Heuuuuu.....ça c'est Un pas Vn or Vn=nUn


sorry ....oui tu avais bien calculé V3 et V4 mais avec une légère erreur sur V4 :

V4=4*4^2/e^4=4^3/e^4

si je rectifie je dois faire 4,75/41,18

La différence entre nos résultats vient du fait que tu as pris e=2,71 et moi e=2,718281828459045 ( valeur calculatrice ).

Posté par
sophiie-ldre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:28

d'acoord d'accord et juste une question pouquoi on doit prouver que (4/3)^3*1/e 1 ? c'est pas vn+1/vn là1 qu'on calcule?

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:38

Si mais justement on a montré que :

\frac{V_{n+1}}{V_n}\le (\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}

donc maintenant il faut prouver que :

(\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}\le 1

Relis le post du 21/09  18.14

Posté par
sophiie-ldre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:42

Merci! Pour le c) j'ai fait n3
n^33^3
n^3/e^n3^3/e^3
3^3/e^3v3
1,35661,3567
c'est bon?

Pour la d) j'ai fait lim de n²= +
mais après pour e^n je sais pas comment faire ?

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:50

Heuuuuu...........

Je t'avais dit de faire ça par récurrence. Tu as déjà fait l'initialisation avec V_4\le V_3 reste maintenant à démontrer que si V_k\le V_3 ( hypothèse de récurrence )  alors V_{k+1}\le V_3. Il faudra utiliser le résultat déjà prouvé \frac{V_{k+1}}{V_k}\le 1.

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 22-09-12 à 11:51

Pour la d) lis le post du 21/09 18.49

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 06-10-12 à 17:05

Bonjour a tous,
Pour la b, j'ai un problème
j'ai trouvé comme vous dites (1+1/n)^3*1/e(4/3)^3*1/e
or je ne trouve pas 1 mais 0.87 pour n=3
quelqu'un peut il m'aider s'il vous plait merci d'avance

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 06-10-12 à 20:52

Alors pas de problème car si c'est 0,87  c'est forcément  1.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 11:49

Bonjour,
Si j'ai bien compris, si vous considérez que 0,87  c'est forcément 1, c'est a cause du e, on arrondi?!.
Mais comme dans la question c'est pour tout n3 j'ai alors fait avec n=4 or je trouve 0.72 est ce que lui aussi on le considère comme 1?.
Or si l'on fait avec n=2 la on trouve un résultat supérieur a 1. Selon vous ai-je fais une erreur quelque part ? Et après avoir fait cela comment prouver que c'est avec tout n3 ?

Deuxième question en attendant votre réponse d'hier dont je vous remerci j'ai tenté de faire la question c) qui est: en deduire que pour pour n3 Vn3 J'ai donc calculer V4 et V3 et j'en ai deduit que V4V3 mais apres je ne vois pas comment on peut a partir de la trouver que VnV3

Merci pour votre aide, et si vous pouvez continuer a m'aider ce serai super Merci

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 12:09

Pour répondre à ta première question je dirais que l'inégalité trouvée :

\frac{V_{n+1}}{V_n}\le (\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}

est vraie pour tout n\ge 3.

Donc si tu as montré que :

(\frac{4}{3})^3\times \frac{1}{e}\le 1

ben ça y est, c'est fini.


Pour ta seconde question ...regardes mon post du 22/09 à 11:50...c'est bien plus facile que tu le penses.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 12:15

Ok merci je vais regarder pour la deuxieme pour la premiere je trouve pas 1 mais 0.87 faut t'il arrondir selon toi ?

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 12:19

oui tu mets 1.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 12:40

Merci beaucoup pour la b) tu ma vraiment aider
Pour la c par contre c'est Vn V(indice)k+1/V(indice)k
Vn=n*u(indice)n

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 13:04

J'avais penser faire
n3
n^33^3
n^3/e^n3^3/e^3
soit VnV3
qu'en pense tu ?
Merci

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 13:35

Bon tu n'as pas regardé mon post du 22/09 à 11:50.....Arrrgggg !!!!!

Bon l'initialisation est faites je crois V_4\le V_3

Pour l'hérédité :

D'abord l'hypothèse de récurrence est : V_n\le V_3.

Voyons maintenant V_{n+1} :

D'après la question précédente \frac{V_{n+1}}{V_n}\le 1 ou mieux V_{n+1}\le V_n

or d'après l'hypothèse de récurrence V_n\le V_3

donc :

V_{n+1}\le V_3.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:05

si je les regarder ^^
Bon je vais essayer ce que tu dit mais je dit pas que c'est gagner
Sinon ce que j'ai proposer c pas juste ?

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:12

Non c'est la troisième ligne qui ne va pas car tu divise d'un côté par e^n et de l'autre par e^3.

Il faut diviser des deux côtés par le même nombre.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:14

Ah si enfaîte c'est bon j'ai compris !!!! Merci beaucoup
Je garde ta méthode mais est ce que : mon post du 07/10 à 13:04 aurait été bon ?
Merci aller je me mes a la d

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:15

D'accord merci beaucoup j'aimerais t'avoir en tant que prof de math

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:31

Arrrrgggg.....impossible je suis trop vieux maintenant ( 65 ans ).
Mais j'aurais bien aimé avoir quelqu'un de motivé comme toi comme élève.
A plus Nass

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:37

Pour la d lim de n² + lim e^n + donc lim de u+
Et bien si vous avez une adresse mail moi je veux bien continuer a vous poser des questions des que j'en ai besoin enfin si tu veux bien

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 14:54

Heuuuu......non ce n'est pas +oo.

Je te rappelle que U_n=\frac{V_n}{n} puisque V_n=nU_n.

On a l'encadrement :

0\le V_n\le V_3

ce qui donne en divisant par n :

0\le U_n\le \frac{V_3}{n}

Tu appliques le théorème des gendarmes et tu trouve  0.

Pour l'adresse mail je vais la mettre sur le site.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 15:02

Je commence juste a aller sur ce forum donc comment on peut aller sur le site pour trouver votre adresse mail ?
Ok je vais essayer le théorème des gendarmes

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 15:16

Merci pour ton aide qui m'a été précieuse j'attend ton adresse mail pour une prochaine fois si besoin Encore merci pour cette fois ci en tout les cas

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 17:33

Pour le mail tu cliques sur le petit bonhomme de MisterJack.

Posté par
Nass25re : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 19:37

Merci beaucoup

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 07-10-12 à 20:02

Posté par
Lejandere : avec une suite auxiliaire 02-10-13 à 19:02

Je ne comprend toujours pas la question a)

Quelqu'un peut m'aider ? Merci.

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 02-10-13 à 19:42

Ok

V_n=\frac{n^3}{e^n}

ainsi :

\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{(n+1)^3}{n^3}\times \frac{e^n}{e^{n+1}}=(\frac{n+1}{n})^3\times \frac{e^n}{e^n\times e}

je te laisse finir ?

Posté par
Lejandere : avec une suite auxiliaire 03-10-13 à 17:40

Ah d'accord. Merci beaucoup !

Posté par
MisterJackre : avec une suite auxiliaire 03-10-13 à 17:42

Posté par
Misterore : avec une suite auxiliaire 21-11-20 à 15:50

Bonjour, je suis tombé sur votre site et j'avoue avoir un peu de mal à calculer la limite de v3/n pour ensuite se servir du théorème des gendarmes. Comment faire ?


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