Argh... j'étais parti sur des équations du 2nd degré, puis je relis le sujet et je vois qu'on demande des rationnels... j'ai cherché un peu plus loin puis finalement les calculs me font peur, je prends mon poisson

Bonjour,

c'est un exercice d'arithmétique, pour le résoudre j'utilise un théorème connu :

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le théorème de Fermat pour l'exposant 3.
En distinguant deu cas on montre qu'il n'existe pas de couples (x,y) de rationnels répondant à la question

Bonjour Jandri

J'utilise aussi ton résultat mais sans distinction de cas

Pour tous : le grand théorème de Fermat ( dans le cas particulier où  l'exposant est 3 ) se cache quelque part .

Imod

Bonjour,

Une réponse approchée sans prétention

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3 600 000/1 000 000 et 400 000/2 611 111

Bonjour,

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Je tombe sur du x³ + y³ = 1 avec x et y entiers relatifs.

pas de solution non nulle

Tu peux préciser comment tu obtiens

Imod

En testant deux nombres rationnels (je le reconnais pas trop beaux) "approchants ",on ne retrouve pas  le x³+y³=1
exemple :
3/1.6000768  et 4/11.44 --> dif =1.52534065=somme des inverses.
la somme de leur cube donne environ  6.63

J'utilise des décompositions en facteurs premiers que je note dfp.
Évidemment, en la recopiant ici, je tombe sur un trou dans ma démonstration
Je poste quand même.

On cherche des entiers relatifs a, b, c, d non nuls tels que :

(1)
On peut supposer les fractions irréductibles.
L'égalité (1) est équivalente à ac(ad-bc) = b²d² (2)
L'entier a divise b²d² , donc d² .
Soit p un facteur premier de l'entier a, et t son exposant dans sa dfp.
p^t divise d². donc p figure dans la dfp de d avec un exposant u.
d = p^ud' avec u 1.
L'exposant de p dans la dfp de d² est 2u ; donc 2u t.
D'après (2), p^ta'c (p^t+ua'd' - bc) = b²p^2ud'² .
D'où a'c (p^t+ua'd' - bc) = b²p^2u-td'² .
L'entier premier p ne figure ni dans la dfp de a', ni dans celle de c ; donc p^2u-t divise p^t+ua'd' - bc .
D'où p^t+ua'd' - bc = kp^2u-t avec k entier relatif.
L'entier premier p ne figure ni dans la dfp de b, ni dans celle de c ; donc 2u = t.
Le trou est là : J'en déduisais a = d².
Mais d peut contenir d'autres facteurs premier que ceux de a !
Après, on pouvait trouver de même c = b².
Puis en déduire d³ b³ = 1.

On peut tenter de combler le trou en démontrant que p facteur premier de d implique p facteur premier de a.

Il n'est pas facile de prendre ce problème par le bon bout

Si on note p/q la fraction irréductible représentant x/y  alors :

x-y=1/x .1/y peut s'écrire pq(p-q)=(p/x)³ .

Imod

Mouais, je ne trouve pas



Ça à l'air pas mal mais ensuite:

Soit et ,



Et là j'ai pas l'impression d'avancer

Il faut regarder en détail l'égalité : sachant que , et sont premiers entre eux deux à deux .

Imod

En observant a,b,c,d<100 on trouve
8/5 et 25/37  dif  0.924 et produit 0.925
d'où l'on peut tirer

8000/5000 et 25000/36899  dif 0.9224749 et produit 0.9224750
Si ça peut vous servir...

Si on veut des solutions approchées il suffit d'étudier les fonctions .



Imod

Merci